全等三角形辅助线系列之三---截长补短类辅助线作法大全.docxVIP

实用标准 实用标准 文案大全 文案大全 全等三角形辅助线系列之三 与截长补短有关的辅助线作法大全 一、截长补短法构造全等三角形 截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想．所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等；所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系．有的是采取 截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解． 截长补短法作辅助线，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 典型例题精讲 【例1】 如图，在?ABC 中， ?BAC ? 60? ， AD 是?BAC 的平分线，且AC ? AB ? BD ，求?ABC 的度数． 【解析】法一：如图所示，延长 AB 至 E 使 BE ? BD ，连接 ED 、 EC ． 由 AC ? AB ? BD 知 AE ? AC ， 而?BAC ? 60? ，则?AEC 为等边三角形． 注意到?EAD ? ?CAD ， AD ? AD ， AE ? AC ， 故?AED ≌ ?ACD . 从而有 DE ? DC ， ?DEC ? ?DCE ， 故?BED ? ?BDE ? ?DCE ? ?DEC ? 2?DEC . 所以?DEC ? ?DCE ? 20? ， ?ABC ? ?BEC ? ?BCE ? 60? ? 20? ? 80? . 法二：在 AC 上取点 E ，使得 AE ? AB ，则由题意可知CE ? BD . 在?ABD 和?AED 中， AB ? AE ， ?BAD ? ?EAD ， AD ? AD ， 则?ABD ≌?AED ，从而 BD ? DE ， 进而有 DE ? CE ， ?ECD ? ?EDC ， ?AED ? ?ECD ? ?EDC ? 2?ECD . 注意到?ABD ? ?AED ，则： 1 3 ?ABC ? ?ACB ? ?ABC ? 2 ?ABC ? 故?ABC ? 80? . 【答案】见解析． 2 ?ABC ? 180? ? ?BAC ? 120?， 【例2】 已知?ABC 中， ?A ? 60? ， BD 、CE 分别平分?ABC 和.?ACB ， BD 、CE 交于点O ，试判断 BE 、CD 、 BC 的数量关系，并加以证明． A E E O D B C 【解析】 BE ? CD ? BC ， 理由是：在 BC 上截取 BF ? BE ，连结OF ， 利用 SAS 证得?BEO ≌ ?BFO ，∴ ?1 ? ?2 ， 1 ∵ ?A ? 60? ，∴ ?BOC ? 90? ? ?A ? 120? ，∴ ?DOE ? 120? ， 2 ∴ ?A ? ?DOE ? 180? ，∴ ?AEO ? ?ADO ? 180? ， ∴ ?1 ? ?3 ? 180? ， ∵ ?2 ? ?4 ? 180? ，∴ ?1 ? ?2 ，∴ ?3 ? ?4 ， 利用 AAS 证得?CDO ≌ ?CFO ，∴ CD ? CF ， ∴ BC ? BF ? CF ? BE ? CD ． 【答案】见解析． A E E 1 O D 4 2 3 B F C 【例3】 如图，已知在△ABC 内， ?BAC ? 60? ， ?C ? 40? ，P、Q 分别在BC、CA 上，并且AP、BQ 分别是∠BAC、∠ABC 的角平分线，求证： BQ ? AQ ? AB ? BP ． PA P B Q C 【解析】延长AB 至D，使 BD ? BP ，连 DP． 在等腰△BPD 中，可得?BDP ? 40? ， 从而?BDP ? 40? ? ?ACP ， △ADP≌△ACP（ASA），故 AD ? AC 又?QBC ? 40? ? ?QCB ，故 BQ ? QC ， BD ? BP ． 从而 BQ ? AQ ? AB ? BP ． 【答案】见解析． 【例4】 如图，在四边形ABCD中， BC ? BA ， AD ? CD ，BD 平分∠ABC，求证： ?A ? ?C ? 180? ． DA D B C 【解析】延长BA 至F，使 BF ? BC ，连 FD △BDF≌△BDC（SAS）， 故?DFB ? ?DCB ， FD ? DC 又 AD ? CD ，故在等腰△BFD 中， ?DFB ? ?DAF 故有?BAD ? ?BCD ? 180? 【答案】见解析． 【例5】 点 M ， N 在等边三角形 ABC 的 AB 边上运动， BD ? DC ， ?BDC ? 120? ， ?MDN ? 60? ，求证： MN ? MB ? NC ． AN A N M B C B 1 D 【解析】延长