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实用标准文案 实用标准文案 文档大全 文档大全 第一章 变分原理与变分法 关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则） 一、 大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理： 昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体； 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理； 对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。 变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律， 获称最小作用原理。 Examples: ① 光线最短路径传播； ② 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron）； v1v2③ 光线折射遵循时间最短的途径（Ferma v1 v2 A A B ? ? E C AE ? EB ? AC ? CB Summary: 实际上光的传播遵循最小能量原理； 在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。 二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方法），是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义 定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间的（映射）关系 特征描述法：{ J: X ? D ? R | J ( x) ? r ? R } Examples: ① 矩阵范数：线性算子（矩阵）空间 数域 ‖A‖ 1 = max ?n a ij ； A ? max ?n ?  a ； A ij 2 ? (?n ?n a 2 ) 1 2ij 2 j i?1 i ② 函数的积分： 函数空间 数域 j?1 j ?1 i?1 J ? ?b a f (x)dx n f ? D n Note: 泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。 Discussion： ① 判定下列那些是泛函： f ? max f ( x) ； ?f ( x, y) ； 3x+5y=2； ? ??? ( x ? x ) f ( x)dx ? f ( x ) a? x?b ?x ② 试举另一泛函例子。 ?? 0 0 q(x) q(x) E、J consts x = 0, 固支；x = l, 自由 x ① 弹性地基梁的系统势能 梁的弯曲应变能： ? b 弹性地基贮存的能量： ? f 外力位能： ? l 系统总的势能： ? 1 ? l EJ ( d 2 w 2 0 dx 2 1 l? ? kw 2 dx 1 l 2 0 ? ? ?l qwdx 0 ) 2 dx ? ? ? l{1 EJ ( 0 2 d 2 w )2 ) dx 2 1 kw2 2 qw}dx ; x ? 0 w ? 0 dw ? 0 dx 泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系统势能。 泛函驻值提法：在满足位移边界条件的所有挠度函数中，找一个 w(x),使 系统势能泛函取最小值。 ② 最速降线问题 问题：已知空间两点 A 和 B,A 高于 B，要求在两点间连接一条曲线，使得有重物从 A 沿此曲线自由下滑时，从A 到 B 所需时间最短（忽略摩擦力）。作法： 通过 A 和 B 作一垂直于水平面的平面，取坐标系如图。B 点坐标(a, b), 设曲线为 y = y(x),并已知：x = 0,y = 0；x = a,y = b 建立泛函： 设 P(x , y)是曲线上的点，P 点的速度由能量守恒定律求得： 1 mv2 2 ? mgy ? v ? 2gy命 ds 2gy 2gyds ? v ? 2gy dt ? dt ? ds ? dx x 2gy1 2gy 1 ? y2 2gy 重物从 A 点滑到 B 点的总时间： y T= ? a 1 ? y 2 dx 0 2 gy p B y 泛函驻值提法：在 0≤x≤a 的区间内找一个函数 y(x)使其满足端点几何条件并使 T 取最小值。 ③ 圆周问题 问题：在长度一定的闭曲线中，什么曲线所围成的面积最大。作法： 假设所考虑的曲线用参数形式表示： x = x(s), y = y(s) s 为参数。取s 为曲线上的某一定点，则坐标表示x =x(s ),y =y(s ),因 1 1 1 1 1 曲线是封闭的，必存在一个 s 点使 x = x(s ),y = y(s )与点 s (x y )重 2 2 2 2 2 合。 s dx dy 1 1, 1 该封闭曲线的周长： L = ? 2 s ( )2 ?( )2 ds ds ds 1 该曲线所围成的面积：R = ?? dxdy ? 转换 R 的表达式 由 Green公式： ??( ?Q ?P )dxdy ??s2 Pdx ? Qdy ?x ?y s ? 1 取 P =- y ,