变量代换求解常微分方程.docxVIP

实用文档 实用文档 题目： 变量代换求解常微分方程 院 （系）： 理学院 专 业： 信息与计算科学学 生： 郝腾宇 摘 要 本问总结了变量代换在常微分方程中的应用，借助恰当的变量代换简化为可解类型，求出其通解或特解，同时举出实例加以证明。 变量代换法不仅是一种重要的解题技巧,也是一种重要的数学思维方法。常微分方程通解的求法具有多样性,不同类型的微分方程有不同的解 。其中变量代换法是求解常微分方程行之有效的方法,我们如果能通过适当的变量代换法将复杂的微分方程化为可解类型,这样能使求解问题大为简化,进而求出通解。本文就变量代换法在常微分方程课程中的应用展开探讨,给出各种类型常微分方程恰当的变量代换求其通解或者特解。 关键词：常微分方程、变量代换法、通解、特解 目 录 一、 变量代换法求解一阶微分方 程 3 二、 变量代换法求解二阶微分方 程… 6 三、 变量代换法求解三阶微分方 程… 7 四、 变量代换法求解n 阶微分方 程… 7 五、 变量代换法求解Euler 阶微分方 程… 9 六、 变量代换法在研究解或轨线性态中的应用… 10 七、 函数变换法求解常微分方 程… 11 八、 三角变换法求解常微分方 程… 13 九、 拉普拉斯变换求解常微分方 程… 14 变量代换法求解一阶微分方程 d ? y ? d a x ? b y ? c 1）对于齐次微分方程 y ? g ? ? ，这里 y ? 1 1 1 是u 的连续 d ? x ? x d a x ? b x 2 2 y ? c 2 y d g ?u ?? u 函数，做变量代换u ? ，使方程化为变量分离方程 u ? ，可求解。 x d x x d a x ? b y ? c 2)对于准齐次微分方程 y ? 1 1 1 ，这里a ，b ，c ，a ，b ，c 均 为常数。 d a x ? b x 2 2 y ? c 2 1 1 1 2 2 2 a ①当 1 a 2  ? 1 ? c b c b12 2 b 1  d =k （常数）时，方程直接化为 y ? k ，有通解： d x y ? kx ? c(c为常数) a ②当 1 a 2 程  ? 1 ? k ? 1 时，做变量代换u ? a cbb c 2 c b 2 2 x ? b 2 y ，将方程化为变量分离方 du ? a ? b d 2 2 x ku ? c u ? c 12 1 由上式可求解。 a ③ 当 1 ? 1 时，做变换? X ? x ?? ，其中??, ??为直线a x ? b y ? c ? 0 ?b?a b Y ? y ? ? ? b ? 2 2 1 1 1 和直线a 2 x ? b 2 y ? c 2 ? 0 在 xoy 平面的交点，将方程转化为齐次方程 d a X ? bY ? Y ? Y ? 1 1 ? g ? ? d a X ? b Y ? X ? X 2 2 由上式可求解。 d ? a x ? b y ? c ? 3）对于更一般的类型 y ? ? ? 1 1 1 ? ，这里a ， b ， c ， a ， b ， ??d a x ? b y ? c ? ? x 2 2 2 1 1 1 2 2 c 均为常数 2 a ①当 1 a 2  ? 1 ? c b c b12 2 b 1  d =k （常数）时，方程直接转化为 y ? f (k) ，有通解 d x y ? f (k )x ? c ； a ② 当 1 a 2 程 ? 1 ? k ? 1 时，做变量代换u ? a cbb c 2 c b 2 2 b y ，将方程化为变量分离方 2 du ku ? c ? a ? b f ( 1 ) dx 2 2 u ? c 2 由上式可求解。 a ③当 1 a 2 ? X ? x ?? ? ?b????1 时，作变换 ，其中（ , ? ? b ? ? ? ? b Y ? y ? 2  ）为直线a 1  x ? b 1  y ? c ? 0 1 和直线a 2 x ? b 2 y ? c 2 ? 0 在 xoy 平面的交点，将方程化为齐次方程 dY ? a X ? bY ? ? Y ? ?1?? f ? 1 ? 1 ? dX a 2 X ? b Y 2 ? ? f ? g( ) ? X? ? X 由上式即可求解。 对于方程 dy ? f (ax ? by ? c) ，这里 a，b，c 均为常数，作变量代换 dx u ? ax ? by ? c ，将方程化为变量分离方程 du ? a ? bf (u) dx 由上式可求解。 对于方程 yf (mx? y)dx ? xg (nx? y)dy ? 0