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《微分方程数值解》教学大纲 课程 编号：1103064 课程性质：专业特色选修课 / 48/3 学时学分： 适用专业：信息与计算科学 一、课程简介 当代科学计算已渗透到极其广泛的专业领域中，形成了许多新的边缘学科，如计算物理 学、计算力学、计算化学、计算生物学和计算经济学等，而计算数学正是联系它们的纽带和 共同的基础。本课程的主要教学目的就是要学习和掌握微分方程数值处理的基本方程、基本 理论和应用技能，以便结合自身专业开展与科学工程计算相关的研究工作。主要任务表现在 两个方面： 一、用有效的数值方法离散微分方程及边界条件，对此，差分方法和有限元方法是目前 被普遍认为行之有效的两类主要的数值方法。 二、用高效率，高速度求解离散微分方程。解同样的离散微分方程，算法不同，计算效 果往往相差很大，采用好的算法不但能使求解过程数值稳定，数值解的精度得到提高，而且 能数十倍，数百倍地节省计算工作量。 二、教学目的与要求 注重基本思想，强调学习和应用这些离散化基本方法，熟练掌握实用、有效的算法、并 能在计算机上实现，注重应用和实践，并自行扩大应用范围。 三、教学重点与难点 （一）椭圆型方程的差分方法 重点：椭圆型方程的差分方法及差分方法的收敛性 难点：差分方法的收敛性和误差估计 （二）抛物型方程的差分方法 重点：抛物型方程的显式和隐式差分格式 难点：差分格式的稳定性和收敛性 （三）双曲型方程的差分方法 重点：一阶拟线性双曲型方程 （组）的特征线法及一阶双曲型方程的差分方法 难点：二阶线性双曲型方程的差分方法 （四）离散化方程的解法 重点：基本的迭代方法并编程实现 难点：多重网格方法的思想 （五）有限元方程简介 重点：有限元法的基本思想 难点：有限元解法 四、教学方法与手段 148 黑板、多媒体 五、教学内容、目标与学时分配 教学目标 学时分配 章节教学内容 深刻理解差商代导数的含义，掌握两点边值问题的中心差分 （一）椭圆型方程的差 格式、椭圆型方程的五点差分格式，会用极值原理分析格式的性 12 分方法 态，掌握差分法求解的过程。 会建立抛物型方程的显式和隐式差分格式，要求会讨论差分 （二）抛物型方程的差 格式的稳定性和收敛性。知道解三对角型方程组的追赶法，了解 12 分方法 二维抛物型方程差分格式的构造方法。 掌握一阶拟线性双曲型方程（组）的特征线方法，及一阶双 （三）双曲型方程的差 曲型方程（组）的差分方法，了解二阶线性双曲型方程的差分方 12 分方法 法的基本思想。 （四）离散化方程的解 掌握常见的迭代方法并会编程实现，体会共轭梯度法的快速 6 法 收敛性，了解多重网格方法的思想。 （五）有限元方程简介 体会极值原理，了解有限元离散过程，知道如何编程实现。 6 六、考核方式及成绩评定 1．考核方式：闭卷 2 ．考试成绩评定：平时成绩占30%～40% 、考试成绩占60%～70%. 七、教材与参考资料 1.教材： 《偏微分方程数值解法》，李荣华，高等教育出版