《高等数学》第八章第一节 数项级数.pptx

第八章无穷级数 目录第1节数项级数第2节常数项级数的审敛法第3节幂级数第4节函数的幂级数展开第5节傅里叶级数第6节函数的傅里叶级数展开 第1节 数项级数数项级数的定义数项级数的性质 数项级数的定义定义1 给定一个无穷数列 ，称表达式为无穷级数，简称级数，记作 ，即其中第 项称为级数的通项或一般项．若 是常数，则级数 称为常数项级数；若 是关于 的函数，则级数 称为函数项级数． 数项级数的定义定义2 级数 的前 项和称为该级数的前 项部分和，简称为部分和．当 依次取 时，它们构成的一个新数列称为前项部分和数列，简称为部分和数列． 数项级数的定义若当时 ，部分和数列 的极限存在，即 ，则称该级数是收敛的，并称极限值 为该级数的和，记作当级数收敛时，部分和 是级数和 的近似值，它们之间的差值称为级数的余项，其绝对值 称为由 代替 时产生的误差.若当时 ，部分和数列 的极限不存在，称极称该级数是发散的. 数项级数的定义例1 讨论公比为 的等比级数的（几何级数）的敛散性：解：当 时，其部分和为则有 ，若 时，此时 ，即该级数收敛，其和为则有 ，若 时，此时 ，即该级数发散 数项级数的定义当 时，由于 ，则有 ，即该级数发散当 时，由于 ，则有 不存在，即该级数发散综上所述，等比级数 数项级数的定义例2 判定级数 的敛散性解：级数的前 项和由于所以该级数收敛，且其和为1. 数项级数的定义例3 证明调和级数 是发散的.证明：由于则调和级数的部分和数列可得因此调和级数 发散 数项级数的定义课堂练习：判定下列级数的敛散性，若收敛，则求其和.答案： 数项级数的性质性质1 若级数 收敛，其和为S， 则级数 (k 为常数)也收敛，其和为kS同理，若级数 发散，则级数 也发散如: 因 发散, 则 也发散 数项级数的性质性质2 若级数 都收敛，其和分别为S，σ， 则级数 也收敛，其和为S±σ如: 收敛 两发散级数逐项相加减所得级数不一定发散．如: 收敛级数与发散级数逐项相加减后所得级数仍发散．如: 数项级数的性质性质3 级数增加或减少有限项后，其敛散性不变当级数收敛时，增加或减少有限项后仍然是收敛的，但级数的和却会改变．性质4 若一个级数收敛，则在其中一些项添加括号后形成的新级数也是 收敛的，且其和不变．对于收敛级数,只要不改变级数各项次序,我们可以任意合并它的一些项,级数仍然收敛,且收敛于原级数和. 数项级数的性质定理1 级数 收敛的必要条件是继而，若 ，则级数 发散例4 判定级数 的敛散性.解：由于所以该级数发散 数项级数的性质课堂练习：判定下列级数的敛散性，若收敛，则求其和.答案：