《高等数学》第八章第五节 傅里叶级数.pptx

第八章无穷级数 目录第1节数项级数第2节常数项级数的审敛法第3节幂级数第4节函数的幂级数展开第5节傅里叶级数第6节函数的傅里叶级数展开 第5节 傅里叶级数三角级数及其正交性周期为2π的函数展开为傅里叶级数 三角级数及其正交性定义1 形如的函数项级数称为三角级数，称常数 为该三角级数的系数.其中，三角级数中出现的系数组成的集合，称为三角函数系. 三角级数及其正交性性质1 三角函数系中任意两个函数之积在上 的积分等于零，即称其为三角函数系的正交性. 周期为2π的函数展开为傅里叶级数定义2 设 是周期为2π的函数，若式子中积分都存在，则称级数为函数 的傅里叶级数，称系数 为 的傅里叶系数． 周期为2π的函数展开为傅里叶级数定理1(迪利克雷收敛条件) 设是 是周期为2π的函数，若满足（1）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，（2）在一个周期内至多只有有限个极值点，则函数 的傅里叶级数收敛，并且当 是函数 的连续点时，级数收敛于 ；当 是函数 的间断点时，级数收敛于 . 周期为2π的函数展开为傅里叶级数一般地，把周期为2π的函数 展开为傅里叶级数可按步骤：第一步：结合图形判断 是否满足迪利克雷收敛条件；第二步：根据傅里叶系数公式计算傅里叶系数；第二步：写出函数 的傅里叶级数展开式，并注明的 取值范围. 周期为2π的函数展开为傅里叶级数例1 设 是周期为2π的函数，其在一个周期[-π,π)上的函数关系为 ．解：将函数 展开成傅里叶级数．函数的图形是一矩形波，如下图所示，其仅在 点处不连续，满足迪利克雷收敛条件，所以 的傅里叶级数收敛. ． 周期为2π的函数展开为傅里叶级数由傅里叶系数公式可得 周期为2π的函数展开为傅里叶级数函数 的傅里叶级数为当 ，级数收敛于 当 ，级数收敛于 ，即 周期为2π的函数展开为傅里叶级数例2 设 是周期为2π的函数，其在一个周期[-π,π)上的函数关系为 ．解：将函数 展开成傅里叶级数．函数的图形是一矩形波，如下图所示，其仅在 点处不连续，满足迪利克雷收敛条件，所以 的傅里叶级数收敛. ． 周期为2π的函数展开为傅里叶级数由傅里叶系数公式可得 周期为2π的函数展开为傅里叶级数函数 的傅里叶级数为当 ，级数收敛于 当 ，级数收敛于 ，即 周期为2π的函数展开为傅里叶级数课堂练习：答案： 设 是周期为2π的函数，其在一个周期[-π,π)上的函数关系为 将函数 展开成傅里叶级数．