《高等数学》第八章第四节 函数的幂级数展开.pptx

第八章无穷级数 目录第1节数项级数第2节常数项级数的审敛法第3节幂级数第4节函数的幂级数展开第5节傅里叶级数第6节函数的傅里叶级数展开 第4节 函数的幂级数展开泰勒级数相关概念函数展开成幂级数 泰勒级数相关概念定义1 设函数 在 的某领域内具有直到 阶导数，则对此领域内任意点 ，有上述公式称为函数 在点 处的 阶泰勒公式，简称为泰勒公式.其余项 称为拉格朗日余项. 泰勒级数相关概念特别地，令泰勒公式中 ，则有麦克劳林公式定义2 设函数 在 的某领域内具有内具有任意阶导数，称幂级数称为为 在点 处的泰勒级数 泰勒级数相关概念当 ，即则称为 的麦克劳林级数.定理1 设函数 在 的某领域内具有内具有任意阶导数，其泰勒级数收敛于 的 充要条件为 ，此时，即有 函数展开成幂级数 我们常把函数 展开成 的幂级数形式，即展开成的麦克劳林级数.常用如下两种方法展开：直接法：(1)求出 的各阶导数 (2)求出 及各阶导数在点 处的值(3)写出幂级数，并求出收敛半径R(4)考察收敛区间内余项是否极限为0若为0，则所求幂级数就是函数 的展开式，若不为0，所求幂级数虽收敛，但不是 的展开式. 函数展开成幂级数例1 将函数 展开成 的幂级数．解：令 ，可得其幂级数为则 因为 ， 所以收敛半径 ，收敛区间为综上，可得 函数展开成幂级数同理可得到下列幂级数展开式： 函数展开成幂级数间接法：借助一些已知函数的幂级数展开式和幂级数的性质， 通过变量代换或加、减法或逐项求导、逐项积分等方法 ， 将所给函数展开成幂级数.例2 将函数 展开成 的幂级数 ．解：因为 ，所以 函数展开成幂级数例3 将函数 展开成 的幂级数．解：因为 ，所以例4 将函数 展开成 的幂级数．解：因为 ，所以 函数展开成幂级数例5 将函数 展开成 的幂级数．解：因为 ，所以 函数展开成幂级数课堂练习：下列函数展开成 x 的幂级数答案：