《高等数学》第五章第3节 曲面及其方程.pptx

第五章 向量代数与空间解析几何 目录 第1节 向量代数 第2节 平面与直线 第3节 曲面及其方程 第3节 曲面及其方程 曲面方程的概念 常见曲面及其方程 空间平面方程 定义： 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; 则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形. 两个基本问题 : (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程, 求曲面方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 解 根据题意有 所求方程为 特殊地：球心在原点时方程为 例1. 求动点到定点 距离为 R 的轨迹方程 常见曲面及其方程 定义： 一条平面曲线 1、旋转曲面 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转 轴 . 例如 : 旋转过程中的特征： 如图 将 代入 得方程 平面曲线绕某轴旋转，轴坐标变量不变，而将曲线方程中的另一变量改写成该变量与第三个变量的平方和的正负平方根。 解 圆锥面方程 例2. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为 的圆锥面方程. 两边平方 柱面 引例. 分析方程 表示怎样的曲面 . 的坐标也满足方程 解:在 xoy 面上， 表示圆C, 沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆 故在空间 过此点作 柱面. 对任意 z , 平行 z 轴的直线 l, 表示圆柱面 在圆C上任取一点 其上所有点的坐标都满足此方程, 柱面 定义 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成 的轨迹叫做柱面.  表示抛物柱面, 母线平行于 z 轴; 准线为xoy 面上的抛物线. z 轴的椭圆柱面.  z 轴的平面.  表示母线平行于 (且 z 轴在平面上) 表示母线平行于 C 叫做准线, l 叫做母线. 二次曲面 xoy 面上的椭圆 绕 x 轴转得曲面： 绕 y 轴转得曲面： zox 面上的双曲线 绕 z 轴转得曲面： 绕 x 轴转得曲面： 旋转椭球面 旋转椭球面 旋转单叶双曲面 旋转双叶双曲面 椭球面 特殊情形：① 当 a=b=c 时，此时为球面 椭球面 ② 当 a=b 时，此时为旋转曲面 ③ 当 a=c 时，此时为旋转曲面 ④ 当 c=b 时，此时为旋转曲面 双曲面 1、单叶双曲面 当 a=b 时为旋转单叶双曲面。 16 双曲面 17 或者 当 a=c 时为旋转双叶双曲面。 双叶双曲面 18 1、 椭圆抛物面 a=b 时，成为旋转抛物面。 抛物面 19 双曲抛物面