北师大版九年级下册数学第14讲《圆周角和圆心角的关系》知识点梳理_已标记密文.pdfVIP

云路鹏程九万里，雪窗萤火二十年。——《王实甫》 北师大版九年级下册数学第 14 讲《圆周角和圆心角的关系》知识点梳理 【学习目标】 1. 理解圆周角的概念，了解圆周角与圆心角之间的关系； 2. 理解圆周角定理及推论； 3. 熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用；通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推 理能力和演绎推理能力． 【要点梳理】 要点一、圆周角 1.圆周角定义： 像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB 这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 2.圆周角定理： 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. 3.圆周角定理的推论： 推论 1 ：同弧或等弧所对的圆周角相等； 推论 2 ：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 要点诠释： (1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. （3 ）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外 部．（如下图） 1 / 6 忍一句，息一怒，饶一着，退一步。——《增广贤文》 好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。——《中庸》 要点二、圆内接四边形 1. 圆内接四边形定义： 四边形的四个顶点都在同一个圆上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆. 2. 圆内接四边形性质： 圆内接四边形的对角互补.如图，四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形，则∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°. B A O C 要点诠释：当四边形的四个顶点不 同时在一个圆上时，四边形的对角是不互补. D 【典型例题】 类型一、圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系及应用 O A . 1.如图，在⊙ 中， ，求∠ 的度数 【答案与解析】 2 / 6 以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。——《管子·牧民》 丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。——杜甫 . 【总结升华】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的圆周角相等，所对的 弦也 相等． 举一反三： 【变式】如图所示，正方形 ABCD 内接于⊙O ，点E 在劣弧 AD 上，则∠BEC 等于 ( ) A ．45° B ．60° C ．30° D ．55° 【答案】A. ∵ AB ＝BC ＝CD ＝DA ， » » » » ∴ AB  BC  CD  DA  90° ， ∴ ∠BEC ＝45°． 类型二、圆周角定理及应用 2.观察下图中角的顶点与两边有何特征? 指出哪些角是圆周角? 【思路点拨】根据圆周角的定义去判断，顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角. 【答案与解析】 (a)∠1顶点在⊙O 内，两边与圆相交，所以∠1不是圆周角； (b)∠2 顶点在圆外，两边与圆相交，所以∠2 不是圆周角； (c)图中∠3、∠4、∠BAD 的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以∠3、∠4、∠BAD 是圆周 角． (d)∠5 顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以∠5 不是圆周角； (e)∠6 顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知∠6 不是圆周角. 【总结升华】紧扣定义，抓住二要素，正确识别圆周角． 3 / 6 丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。——杜甫 吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎？与朋友交而不信乎？传不习乎？——《论语》 3. （2015•