辐射探测中的概率统计问题课件.pptVIP

例子： 如果放射性原子核的个数N0非常大，同时测量时间t比半衰期小的多，即在t内可不考虑放射原子核总数 N0 的改变，则在t内放射源衰变数就可用泊松分布作为其概率函数。 所以对于原子核衰变，其数学期望为： 方差： (3) 高斯分布 高斯分布又称正态分布，当泊松分布中的 m1(例如20)时，泊松分布就可简化为高斯分布。对高斯分布，随机变量X取值范围为(－?～＋?)，为连续型随机变量。其概率密度函数为： 高斯分布随机变量的数学期望和方差 数学期望 方差 对于核衰变，可以证明单位时间发生衰变的核数服从泊松分布。其特点为： 这一关系在高斯分布也是成立的。可以证明： 此式表明，仅有统计涨落时， 一般情况下， 高斯分布连续对称，可以方便的计算测量值出现在 区间内的概率，即： 令： 可由高斯函数数值积分表查得。 表示置信区间为 该置信区间的置信度为： 例如： 当Z＝1时，置信区间为 该置信区间的置信度为 当Z＝2时，置信区间为 该置信区间的置信度为 3.随机变量的运算和组合 复杂随机变量往往可以分解为由若干简单的随机变量运算、组合而成。 这样就可以由已知的简单随机变量的分布函数与数字表征来求复杂随机变量的分布函数和数字表征。 (1). 随机变量的函数 已知随机变量X，其可取值为x，概率密度函数为f(x)。而Y＝?(x)，求随机变量Y 的可取值 y 和概率密度函数 g(y)。 由于X取各可取值的概率就是Y取相应可取值的概率，所以： 的得到在数学上是十分困难的。它取决于 和函数关系 仅对一些最简单的函数才能得到其解析表达式。 如： 对多个独立随机变量的函数 Y 也是一个随机变量，其可取值和概率密度函数由各Xi 的可取值和概率密度函数共同确定。 由此，可得到若干简单的关系： (A) (B) 相互独立的随机变量的“和”、“差”与“积”的数学期望，是各随机变量数学期望的“和”、“差”与“积”，即： (C) 相互独立的随机变量的“和”与“差”的方差，是各随机变量方差的“和” ，即： (D) 相互独立的遵守泊松分布的随机变量之“和”仍服从泊松分布。 要注意的是相互独立的遵守泊松分布的随机变量之“差”，不服从泊松分布。 (2). 串级随机变量 辐射测量中经常会遇到级联、倍增过程的涨落问题，这些问题可以用串级型随机变量的概念及运算规则来处理。 设对应于试验条件组A定义一个随机变量?1，对应于另一试验条件组B定义另一随机变量?2，且二者相互独立。按以下规则定义一个新的随机变量?： (A) 先按条件组A作一次试验，实现了随机变量?1的一个可取值?1i； (B) 再按条件组B作?1i次试验，实现了随机变量?2的?1i个可取值 ； (C) 将这些可取值加起来得到一个值?i，并将此值定义为一个新的随机变量?的一个可取值； 这里，随机变量?为随机变量?1与?2的“串级”随机变量。而且按顺序分别称?1和?2为此串级随机变量的第一级和第二级。 串级随机变量的主要特点： (A) 期望值： (B) 方差： (C) 相对方差： 假如第一级随机变量的数学期望很大，那么就可以忽略第二级随机变量的相对方差对串级随机变量的相对方差的贡献。 (D) 由两个伯努利型随机变量?1和?2串级而成的随机变量 ? 仍是伯努利型随机变量。即 ? 仍是只有两个可取值(0,1)的伯努利型随机变量。 若伯努利型随机变量 ?1 的正结果发生概率为 p1, ?2 的正结果发生概率为 p2，则? 正结果发生概率为： (E) 由遵守泊松分布的随机变量?1与伯努利型随机变量?2串级而成的随机变量? 仍遵守泊松分布。 设?1的平均值为m1,而?2的正结果发生概率为p2，则? 的平均值为： 对N个相互独立的随机变量 串级而成的N级串级随机变量?，有： 7.2 核衰变数与探测器计数的涨落分布 1、核衰变数的涨落 放射性衰变是一种随机过程，放射性衰变规律为: 在0~t 时间内，原来N0个放射性核中，发生了衰变的核的平均数为 当N0很大时，对一个核而言，一个核在0~t 时间内发生衰变的概率为： 每一个放射性核在t 时间内发生衰变是什么事件？ 是伯努利事件 随机变量取1的正事件发生的概率 取0的概率为 则总的衰变数N就是上述伯努利事件重复N0次，发生正结果的事件之和。 对于一个具有N0个放射性核的放射源，在t 时间内发生核衰变数为N，是一个遵守二项式分布的随机变量。 概率函数 数学期望值 方差 长寿命核素，其衰变概率 很小 为有限量 在t 时间内总衰变数N遵守泊松分布