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第一章 有理数
一、 知识要点
本章的主要内容可以概括为有理数的概念与有理数的运算两部分。有理数的概念可以利用数轴来认识、理解,同时, 利用数轴又可以把这些概念串在一起。有理数的运算是全章的重点。在具体运算时,要注意四个方面,一是运算法则, 二是运算律,三是运算顺序,四是近似计算。
基础知识:
正数(position number):大于 0 的数叫做正数。
负数(negation number):在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。
3.0 既不是正数也不是负数。
有理数(rational number):正整数、负整数、0、正分数、负分数都可以写成分数的形式,这样的数称为有理数。
有理数
整数
有理数
分数
正整数
0
负整数正分数负分数
有理数
正有理数
0
负有理数
正整数
正分数负整数
负分数
数轴(number axis):通常,用一条直线上的点表示数,这条直线叫做数轴。数轴满足以下要求:
在直线上任取一个点表示数0,这个点叫做原点(origin);
通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向,从原点向左(或下)为负方向;
选取适当的长度为单位长度。
相反数(opposite number):绝对值相等,只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
☆a 与—a 互为相反数(a 为有理数) 0 的相反数是 0
☆两个数互为相反数,则有这两个数的和为0.用字母表示为:若a 与 b 互为相反数,则有a+b=0 7.绝对值(absolute value)一般地,数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值,记做|a|。由绝对值的定义可得:|a-b|表示数轴上a 点到b 点的距离。
一个正数的绝对值是它本身; |6|=6 一个负数的绝对值是它的相反数;|-6|=6 0 的绝对值是 0.
正数大于 0,0 大于负数,正数大于负数;两个负数,绝对值大的反而小。
|a|≥0 (a 为有理数) 绝对值具有非负性。
几个非负数的和为 0,则这几个数分别为 0。|a-3|+|b-5|=0,则有 a-3=0,b-5=0
有理数加法法则
同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加。-7+(-7)=-14
绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数 的两个数相加得 0. 5+(-8)=-(8-5)=-3 -3+3=0
一个数同 0 相加,仍得这个数。0+(-5)=-5
加法交换律:有理数的加法中,两个数相加,交换加数的位置,和不变。表达式:a+b=b+a。
加法结合律:有理数的加法中,三个数相加,先把前两个数相加或者先把后两个数相加,和不变。表达式:(a+b)+c=a+(b+c)
有理数减法法则
减去一个数,等于加这个数的相反数。表达式:a-b=a+(-b) -3-(-5)=-3+5=2 10.有理数乘法法则
两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘。-3x(-5)=+(3x5)=15 -3x5=-(3x5)=-15 任何数同 0 相乘,都得 0.
乘法交换律:一般地,有理数乘法中,两个数相乘,交换因数的位置,积相等。表达式:ab=ba 乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等。
表达式:(ab)c=a(bc)
乘法分配律:一般地,一个数同两个的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加。 表达式:a(b+c)=ab+ac
倒数
积为 1 的两数互为倒数。如果两个数互为倒数,那么这两个数的积等于1。用字母表示为:若a 与 b 互为倒数,则有ab=1
有理数除法法则:
两数相除,同号得负,异号得正,并把绝对值相除。-3÷(-5)=+(3÷5)=0.6 3÷(-5)=-(3÷5)=-0.6 0 除以任何一个不等于 0 的数,都得 0.
有理数的乘方:求 n 个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂(power)。an 中,a 叫做底数,n 叫做指数。
根据有理数的乘法法则可以得出:
负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数; 正数的任何次幂都是正数;
0 的任何正整数次幂都是 0。
有理数的混合运算顺序
“先乘方,再乘除,最后加减”的顺序进行;
同级运算,从左到右进行;
如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行。
15、科学技术法:把一个大于 10 的数表示成 a﹡10n 的形式(其中 a 是整数数位只有一位的数(即 0a10),n 是正整数)。
16.近似数
拓展知识:
数集:把一些数放在一起,就组成一个数的集合,简称数集。
(1)所有有理数组成的数集叫做有理数集; (2)所有的整数组成的数集叫做整数集。
任何有理数都可以用数轴上的一个点来表示,体现了数形结合的数学思想。
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