高中：第八章 习题课　异面直线所成的角及直线与平面所成的角的解法.docx

习题课　异面直线所成的角及直线与平面所成的角的解法 学习目标　1.理解异面直线所成的角的概念，会运用平移的方法求异面直线所成的角.2.掌握直线与平面所成角的求法． 一、异面直线所成的角 例1　如图，已知在三棱锥A－BCD中，AD＝1，BC＝eq \r(3)，且AD⊥BC，BD＝eq \f(\r(13),2)，AC＝eq \f(\r(3),2)，求异面直线AC与BD所成的角的大小． 解　如图，取AB，AD，DC，BD的中点分别为E，F，G，M，连接EF，FG，GM，ME，EG. 则MG綊eq \f(1,2)BC，EM綊eq \f(1,2)AD. 因为AD⊥BC，所以EM⊥MG. 在Rt△EMG中， 有EG＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2)＝1. 由图可知，∠EFG为异面直线AC与BD所成的角(或补角)． 在△EFG中，因为EF＝eq \f(1,2)BD＝eq \f(\r(13),4)， FG＝eq \f(1,2)AC＝eq \f(\r(3),4)， 所以EF2＋FG2＝EG2， 所以EF⊥FG，即AC⊥BD. 所以异面直线AC与BD所成的角的大小为90°. 反思感悟　求异面直线所成的角的方法 求异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生三角形，主要有三种方法：①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)． 跟踪训练1　如图，在每个面都为等边三角形的四面体S－ABC中，若点E，F分别为SC，AB的中点，试求异面直线EF与SA所成的角． 解　如图，连接CF，SF，设四面体S－ABC的棱长为a， 则SF＝CF＝eq \f(\r(3),2)a. 因为E为SC的中点， 所以EF⊥SC. 在Rt△SEF中，SE＝eq \f(1,2)SC＝eq \f(1,2)a， 所以EF＝eq \r(SF2－SE2)＝eq \f(\r(2),2)a. 取SB的中点为D，连接ED，FD. 则∠DFE为异面直线EF与SA所成的角(或补角)．因为BC＝SA＝a， 而FD∥SA，且FD＝eq \f(1,2)SA，ED∥CB，且ED＝eq \f(1,2)CB，所以FD＝ED＝eq \f(1,2)a，所以FD2＋ED2＝EF2. 故△DEF是等腰直角三角形，可得∠EFD＝45°， 即异面直线EF与SA所成的角是45°. 二、直线与平面所成的角 例2　如图，在三棱锥P－ABC中，PA＝AC＝BC，PA⊥平面ABC，∠ACB＝90°，O为PB的中点，求直线CO与平面PAC所成角的余弦值． 解　如图，取PC的中点为E，连接EO，则OE∥BC. ∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC， ∴PA⊥BC.又AC⊥BC，AC∩PA＝A， ∴BC⊥平面PAC.又OE∥BC， ∴OE⊥平面PAC， ∴∠OCE为直线CO与平面PAC所成的角． 设PA＝AC＝BC＝2，则OE＝1，CE＝eq \r(2)，OC＝eq \r(3)， ∴cos∠OCE＝eq \f(CE,OC)＝eq \f(\r(6),3). ∴直线CO与平面PAC所成角的余弦值为eq \f(\r(6),3). 反思感悟　求斜线和平面所成的角的步骤 (1)作(或找)：作(或找)出斜线在平面上的射影，作射影要过斜线上斜足以外的一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与题目中已知量有关，这样才能便于计算． (2)证：证明某平面角就是斜线和平面所成的角． (3)算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算． 跟踪训练2　已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，求侧棱和底面所成的角的余弦值． 解　如图，设正三棱锥S－ABC的底面边长为a，则侧棱长为2a. 设O为底面△ABC的中心， 则∠SAO为SA和平面ABC所成的角． 在Rt△SOA中，因为AO＝eq \f(2,3)×eq \f(\r(3),2)a＝eq \f(\r(3),3)a， 所以cos∠SAO＝eq \f(AO,SA)＝eq \f(\f(\r(3),3)a,2a)＝eq \f(\r(3),6)， 即侧棱和底面所成的角的余弦值为eq \f(\r(3),6). 1．知识清单： (1)异面直线所成的角． (2)直线与平面所成角的求解方法． 2．方法归纳：转化与化归． 3．常见误区：无法将空间角转化为相交直线所成的角． 1.如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，直线D′A与BB′所成的角可以表示为(　　) A．∠DD′A　　　 B．∠AD′C′ C．∠ADB′　　　 D．∠DAD′ 答案　A 2．如图，在正方体ABC