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毕业论文开题报告 数学与应用数学 动力系统简介 一、选题的背景、意义 动力系统的经典背景是常微分方程的解族所确定的整体的流动。在常微分方程发展早 期，牛顿、莱不尼兹、欧拉、伯努里(家族)等发现了许多通过初等函数或他们的积分表达式 等方法来求常微分方程的通解。但是，Liouville 在 1841 年证明了大多数微分方程都不能 求得显式解。 因而动力系统的历史一般可以追溯到 19 世纪末法国大数学家 Henri Poincar  é 1 创立的微分方程定性论，或者可以称为微分方程的几何理论。其精神是不通过微分方程 的显式解而直接研究解得几何和拓扑性质。这是由于已经知道的大多数微分方程都不可能求  出显式解。20 世纪早期 Birkhoff 2 关于拓扑动力系统的公理化式的工作为这一学科建立了 大范围的理论框架。这使得动力系统的含义更为广泛，可以不一定由微分方程产生。经过了 几十年相对寂静的时期，从 20 世纪 60 年代开始，动力系统，尤其是与计算机迭代直接相关 的离散时间的动力系统，迅速活跃起来。新的研究方向相继产生，形成了各具实力的美国学 派、前苏联学派、欧洲学派、巴西学派以及廖山涛先生独树一帜的理论为代表的中国学派。 经过 40 多年的迅速发展，动力系统前进的势头，越来越生机勃勃。 今天的动力系统大致有微分动力系统、Hamilton 动力系统、拓扑动力系统、复动力系统、 遍历论、随机动力系统等若干方向。其界限并不严格，相互交叉很多。微分动力系统研究一 般的可微系统。它的发端是 60 年代初兴起的结构稳定性研究。所谓的结构稳定性是说系统 的整体拓扑在可微扰动下保持不变，这显然是一恢弘的概念。其研究产生了很大的影响，成 为现代动力系统诞生的一个标志。结构稳定性系统比较理想而少见。大量存在的，是不那么 结构稳定的系统，和很不结构稳定的瞬息万变的系统。目前微分动力系统的研究对非结构稳 定系统正在取得大量激动人心的成果。与一般的微分动力系统相比，比较特殊的是自成体系 的 Hamilton 动力系统理论。这一理论有天体力学的背景，更加地传统，也更贴近现实的物 理世界。其结构精巧微妙，拥有很多深刻的发现，比如，著名的KAM 理论。拓扑动力系统则 研究一般的连续系统，在纯粹的意义下研究动力系统最基本的概念，最广泛的共性。其理论 清晰透彻，高度凝练。有和动力系统紧密相关的分型理论。分形理论以其奇异的几何图形和 氛围概念倾倒着无数研究它的学者，也为动力系统的复杂研究对象提供了鲜明的几何直观。 动力系统的复杂不变集常常是分形，比如奇异吸引子，以及更加一般的奇异不变集。80年代 突起的复动力系统，以其强大的现代计算机在复平面上向世人展示了变幻无穷的下按时的分 形世界。挟实复分析身后的根基，分形和复动力系统犹如交织在一起的两股旋风，十几年来 风靡一时。遍历论和新起的随机动力系统则在分析、拓扑的基础上进一步从统计的角度开展 深入的研究，其理论宽广厚重。这些愤分支有一些共同的数值不变量，比如拓扑熵、Lyapunov 指数，对动力系统的一些基本数量随时间增长的规律做了扼要的提炼，对整个系统起着宏观 标志的作用，有时甚至是火龙点睛。它们之间的关系尤其引人入胜。几十年来动力系统的各 个分支互相呼应，互相交织地向前发展。目前富于挑战性的重要问题仍然不断出现。这也如 真是的宇宙，我们所尚未了解的，相对于已经了解的，是一个浩瀚无边而激动人心的世界。 这就赋予动力系统不竭的生命力。 动力系统的生命力也许特别来自它与实际应用的联系。微分方程本来就有联系实际的特 点。现代计算机武装起来的离散动力系统的划时代发展，使这一联系更为现实有力。比如著 名的Lorcnz系统和Henon系统，就是气象学家和天文学家分别发现的。计算机屏幕上的演示  说明，这两个系统的核心部分象是有复杂的吸引子 。几十年的研究逐步揭开了其中极为丰3 富优美的数学内涵，确定它们的确是非结构稳定的奇异吸引子。说这样的成果是理论的还是 应用的都不足以表达人俐的欢愉，因为理论和应用在这里同时达到了极致。 动力系统的一些观念产生了远远越出本学科的影响。突出的是近年来深受注意的混沌与 复杂性的科学观念。所谓混沌是指高度复杂的、对误差极其敏感的性态。60年代初在结构稳 定性研究