二次根式知识点及习题.docx

9页脚内容 9 一：二次根式的概念 一：二次根式的概念 二次根式 知识点一： 二次根式的概念 形如 ( )的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为 负数没有平方根，所以 是 为二次根式的前提条件，如 ， ， 等是二 次根式，而 ， 等都不是二次根式。 知识点二：取值范围 1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当 a≧0 时， 有意义，是二次根式，所以要 使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当 a ﹤ 0 时， 没有意义。 知识点三：二次根式 ( )的非负性 ( )表示 a 的算术平方根，也就是说， ( )是一个非负数，即 0 ( )。 注：因为二次根式 ( )表示 a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数， 0 的算术平方根 是 0，所以非负数( )的算术平方根是非负数，即 0 ( )，这个性质也就是非负数的算 术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若 ，则 a=0,b=0；若 ，则 a=0,b=0；若 ，则 a=0,b=0。 知识点四：二次根式( ) 的性质 ( ) 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：二次根式的性质公式 ( )是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反 过来应用：若 ，则 ，如： ， . 知识点五：二次根式的性质 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注： 1 、化简 时，一定要弄明白被开方数的底数 a 是正数还是负数，若是正数或 0，则等于 a 本身，即 ；若 a 是负数，则等于 a 的相反数-a,即 ； 2 、 中的 a 的取值范围可以是任意实数，即不论 a 取何值， 一定有意义； 3 、化简 时， 先将它化成 ，再根据绝对值的意义来进行化简。 9 页脚内容 表示一个正数 a 的算术平方根的平方，而，而 表示一个正数 a 的算术平方根的平方，而 ，而 中 a 可以是正实数， 0，负实数。 但 表 一：二次根式的概念 知识点六： 与 的异同点 1、不同点： 与 表示的意义是不同的， 示一个实数 a 的平方的算术平方根； 在 中 与 都是非负数，即 ， 。因而它的运算的结果是有差别的， ， 而 2、相同点： 当被开方数都是非负数， 即 时， = ； 时， 无意义， 而 . 知识点七：二次根式的性质和最简二次根式 如：不含有可化为 如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有 √ 2、 √ 3、 √ a(a≥0)、 √ x+y 等； 含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有 √ 4、 √ 9、 √a^2、 √ (x+y) ^2、√x^2+2xy+y^2 等 (3)最终结果分母不含根号。 知识点八：二次根式的乘法和除法 1 1.积的算数平方根的性质 √ ab= √ a · √b(a≥0，b≥0) 2. 乘法法则 √ a · √b= √ ab(a≥0，b≥0) 二次根式的乘法运算法则，用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积 的算术平方根。 3.除法法则 √ a÷ √b= √ a÷b(a≥0， b0) 二次根式的除法运算法则，用语言叙述为：两个数的算数平方根的商，等于这两个数商的算 数平方根。 4.有理化根式。 如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做有理化根式,也称有 理化因式。 知识点九：二次根式的加法和减法 1 1 同类二次根式 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次 根式叫做同类二次根式。 2 合并同类二次根式 把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。 3 二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。 知识点十：二次根式的混合运算 9页脚内容 9 一：