二次根式的化简与计算的策略与方法.docx

21 页脚内容 16 16 二次根式的化简与计算的策略与方法 二次根式是初中数学教学的难点内容， 读者在掌握二次根式有关的概念与性质后， 进行二次 根式的化简与运算时，一般遵循以下做法： ①先将式中的二次根式适当化简 ②二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行，运算中要运用公式 ( ， ) ③对于二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算． ④二次根式的加减法与多项式的加减法类似，即在化简的基础上去括号与合并同类项． ⑤运算结果一般要化成最简二次根式． 化简二次根式的常用技巧与方法 二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内容， 对于二次根式的化简， 除了掌握基本概念 和运算法则外， 还要掌握一些特殊的方法和技巧， 会收到事半功倍的效果， 下面通过具体的实例 进行分类解析． 1．公式法 ； ②【例1】计算① ； ② 【解】 ①原式 ②原式 【解后评注】 以上解法运用了 “完全平方公式”和 “平方差公式” ，从而使计算较为简便． 2 ．观察特征法 【例2】计算： 【方法导引】若直接运用根式的性质去计算， 须要进行两次分母有理化，计算相当麻烦，观 察原式中的分子与分母，可以发现，分母中的各项都乘以 ，即得分子，于是可以简解如下： ．【解】原式 ． 21 页脚内容 1 16 【例3】 把下列各式的分母有理化． ( (1) ；(2) ( ) 【方法导引】 ①式分母中有两个因式， 将它有理化要乘以两个有理化因式那样分子将有三个 因式相等， 计算将很繁， 观察分母中的两个因式如果相加即得分子， 这就启示我们可以用如下解 法： 【解】①原 【解】①原式 的系【方法导引】②式可以直接有理化分母，再化简．但是，不难发现②式分子中 的系 数若为“1”，那么原式的值就等于“1”了！因此，②可以解答如下： 【解】②原式 3．运用配方法 【例4】化简 【解】原式 ”【解后评注】注意这时是算术根，开方后必须是非负数，显然不能等于“ ” 4．平方法 【例5】化简 【解】∵ 21 页脚内容 【例】化简【方法导引】若直接展开，计算较繁，如利用公式 ，则使【解】原式【例7】化简【解】令原式16 【例 】化简 【方法导引】若直接展开，计算较繁，如利用公式 ，则使 【解】原式 【例7】化简 【解】令 原式 16 ∴ ∴ ． 与的有关问题，一般用平方法都可以进行【解后评注】对于这类共轭根式 与 的有关问题，一般用平方法都可以进行 化简 5．恒等变形公式法 6 6 运算简化． 6．常值换元法 ， ，则： 7．裂项法 21 页脚内容 【例】化简则原式16 【例 】化简 则 原式 16 【例8】化简 【解】原式各项分母有理化得 原式 【例9】化简 【方法导引】 这个分数如果直接有理化分母将十分繁锁， 但我们不难发现每一个分数的分子 等于分母的两个因数之和，于是则有如下简解： 【解】原 【解】原式 8．构造对偶式法 10 10 【解】构造对偶式，于是没 21 页脚内容 【解】∵而【解】原式．16 【解】∵ 而 【解】原式 ． 16 9．由里向外，逐层化简 理． ∴ ∴原式 【解后评注】对多重根式的化简问题，应采用由里向外，由局部到整体，逐层化简的方法处 10．由右到左，逐项化简 【例11】化简 【方法导引】原式从右到左是层层递进的关系，因此从右向左进行化简． 【解后评注】平方差公式和整体思想是解答本题的关键， 由平方差公式将多重根号逐层脱去， 逐项化简，其环节紧凑，一环扣一环，如果不具有熟练的技能是难以达到化简之目的的． 返回 二次根式大小比较的常用方法 二次根式的化简具有极强的技巧性， 而在不求近似值的情况下比较两个无理数(即二次根式) 的大小同样具有很强的技巧性， 对初中生来说是一个难点，但掌握一些常见的方法对它的学习有 1 16 很大的帮助和促进作用． 1．根式变形法 【例1】比较 与 的大小 【解】将两个二次根式作变形得 ∵即，∴ ∵ 即 【解后评注】本解法依据是：当 ， 时，① ，则 ；②若 ， 则 2．平方法 【例2】比较 与 的大小 【解】， 【解】 ∵ ，∴ 【解后评注】本法的依据是：当 ， 时，如果 ，则 ，如果 ， 则 ． 3．分母有理化法 通过运用分母有理化，利用