广义拟线性和拟线性薛定谔方程解的存在性.pdfVIP

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2023-03-20 发布于江苏
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广义拟线性和拟线性薛定谔方程解的存在性.pdf

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摘要摘要研究薛定谔方程解的存在性对求解量子力学中的波函数以及统计粒子在空间中的分布具有重要意义. 本文主要应用非线性泛函分析中的变分法研究广义拟线性和拟线性薛定谔方程解的存在性和集中性. 主要内容如下：第一章介绍了问题的研究背景及意义以及研究现状. 阐述了本文主要的研究工作和相关的预备知识. 第二章研究了含Choquard 非线性项的广义拟线性薛定谔方程，其中，，，为位势函数，为里斯位势. 当位势函数是关于变量的周期函数时，利用山路定理，证明了该方程正解的存在性. 第三章研究了含深井位势的拟线性薛定谔方程，其中，，，为位势函数，非空. 利用山路定理证明了该方程非平凡解的存在性及集中性. 第四章研究了含临界指数的拟线性薛定谔方程其中，为位势函数，为非线性项. 借助Pohožaev 流形和约束极小化方法证明了该方程基态解的存在性. 第五章给出了本文的结论以及展望. 关键词：广义拟线性薛定谔方程；拟线性薛定谔方程；正解；非平凡解；基态解 II 目录目录第1章绪论1 1.1 研究背景及意义1 1.2 研究现状3 1.2.1 含Choquard 非线性项的广义拟线性薛定谔方程3 1.2.2 拟线性薛定谔方程3 1.3 主要工作及创新点4 1.4 预备知识5 第2 章含Choquard 非线性项的广义拟线性薛定谔方程解的存在性8 2.1 变分结构及主要结论8 2.2 正解的存在性10 第3 章含深井位势的拟线性薛定谔方程解的存在性及集中性21 3.1 变分框架及结果21 3.2 非平凡解的存在性24 3.3 非平凡解的集中性31 第4 章含临界指数的拟线性薛定谔方程基态解的存在性37 4.1 变分结构及主要结论37 4.2 基本引理39 4.3 基态解的存在性53 第5 章结论与展望65 5.1 结论65 5.2 展望65 致谢67 参考文献68 攻读硕士期间的研究成果72 V 第1章绪论第1章绪论 1.1 研究背景及意义 20 20 世纪年代，受爱因斯坦光子学说的启发，德布罗意提出了物质波的概念，他对波函数的解释使人们对经典波动理论有了全新的认识，是量子力学的开端．在1926年，薛定谔深入研究了德布罗意提出的假说，创立了波动力学， [1] 1927 并提出了薛定谔波动方程．在年，德国理论物理学家波恩通过光栅衍射与电子衍射对比得出波函数的统计解释结论．如果用