广东省广州市重点学校备战2017高考数学一轮复习 立体几何试题28.docxVIP

- - PAGE 6 - 立体几何 28 222.如图，四棱锥 F－ABCD 的底面 ABCD 是菱形，其对角线 AC=2，BD= ，AE、CF 都与平面 2 ABCD 垂直，AE=1，CF=2. 求二面角B－AF－D 的大小； 求四棱锥E－ABCD 与四棱锥F－ABCD 公共部分的体积. 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、相交平面所成二面角以及空间几何体的体积计算等知识，考 查空间想象能力和推理论证能力、利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力。 解：（I）（综合法）连接 AC、BD 交于菱形的中心O，过O 作 OG ? AF， G 为垂足。连接BG、DG。由BD ? AC，BD ? CF 得 BD ? 平面ACF，故BD ? AF。 于是 AF ? 平面 BGD，所以BG ? AF，DG ? AF， ? BGD 为二面角B－AF－D 的平面角。 由 FC ? AC ， FC ? AC ? 2 ，得 FAC ? ? 4 ， OG ? 22 2 由OB ? OG, OB ? OD ? ，得?BGD ? 2?BGO ? ? 22 2 2 （向量法）以 A 为坐标原点， ?B?D?? 、 ?A?C?? 、 ?A?E?? 方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图） 23 如图６，已知正方体 ABCD ? A B C D 的棱长为２，点Ｅ是正方形 BCC B 的中心，点Ｆ、 1 1 1 1 1 1 Ｇ分别是棱C D , AA 的中点．设点 E , G 分别是点Ｅ，Ｇ 1 1 1 1 1 在平面 DCC D 内的正投影． 1 1 （１）求以Ｅ为顶点，以四边形 FGAE 在平面 DCC D 内 1 1 的正投影为底面边界的棱锥的体积； （２）证明：直线FG 1 ? 平面FEE ； 1 （３）求异面直线 E G 与EA 所成角的正统值（ 3） E G  ? (0,?2,0) ， EA ? (1,?2,?1) ，则 1 1 1 1 cos ? E G E G 1 1E G EA1 1, EA 1 1 E G EA 1 1 EA ? 2  ， 设 异 面 直 线 E G 与EA 所 成 角 为 ? ， 则 61 1 1 1 6 1 ? 233s i ?n ? 1 ? 2 3 3 3 AM A M N D G 如图，己知两个正方形ABCD 和 DCEF 不在同一平面内， M，N 分别为AB , DF 的中点。 B 若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN 与平面DCEF F 所成角的正弦值； 用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线。 C E (18)解：(1)解法一：取CD 的中点G，连结MG，NG， . 设正方形ABCD，DCEF 的边长为 2， 2则 MG⊥CD ，MG=2，NG= ， . 2 66因为平面ABCD⊥平面 DCEF，所以 MG⊥平面 DCEF 。可得∠MNG 是 MN 与平面DCEF所成的角。 6 6 6因为 MN= 6 ，所以sin ?MNG ? 3 ，故MN 与平面DCEF所成的角的正弦值为 3 . 又 AB∥CD，所以 AB∥平面 DCEF，而 EN 为平面MBEN与平面DCEF的交线， 所以 AB∥EN，又 AB∥CD∥EF，所以 EN∥EF，这与 EN∩EF=E 矛盾，故假设不成立. 所以 ME 与BN 不共面，它们是异面直线. 225.如图，四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的 倍，P 为侧棱 2 SD 上的点。 （Ⅰ）求证：AC⊥SD； （Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角 P-AC-D的大小 （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC 上是否存在一点E， 使得 BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC 的值； 若不存在，试说明理由。解法一： （Ⅲ）在棱SC 上存在一点E，使 BE // 平面PAC 由（Ⅱ）可得 PD ? a ，故可在SP 上取一点 N ,使 PN ? PD ,过 N 作 PC 的平行线 24 2 与 SC 的交点即为 E 。连 BN 。在 BD N 中知 BN // PO ， 又由于 NE // PC , 故平面 BEN // 平面PAC ，得 BE // 平面PAC ,由于 SN：NP ? 2：1,故 SE：EC ? 2：1. 解法二： （Ⅰ）；连 BD ,设 AC 交于 BD 于O ，由题意知SO ? 平面ABCD .以O 为坐标原 点， OB，OC，OS 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向，建立坐标系O ? xyz 如图。 6设底面边长为a ，则高 SO ? a 。 6 2222 2 2 2 6于是 S (0,0, 6 a), D(? a,0,0) C(0,