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高二理科数学答案 一、选择题： 1—5：D B D C C 6—10：B C A C D 二、填空题 27 2 11、必要不充分条件 12、 8 13、x2＋y2＋26x＋25＝0 14、1 ? e ? 3 15、②③ 三、解答题： 16、解：由“p 且 q”是真命题，则 p 为真命题，q 也为真命题． 若 p 为真命题，a≤x2 恒成立， ∵x∈[1,2]，∴a≤1. 若 q 为真命题，即 x2＋2ax＋2－a＝0 有实根， Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即 a≥1 或 a≤－2， 综上所述，实数 a 的取值范围为 a≤－2 或 a＝1. 17、解：(1)设 P(x，y)，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0，－ 3)，(0， 3)为焦点， 长半轴为 2 的椭圆， y2 故曲线C 的方程为x2＋ 4 ＝1. ?? y2 2＋ 2＋ 4 ＝1， ＝＋1.(2)设A(x ，y )，B(x ，y )，其坐标满足? ＝ ＋1. 1 1 2 2 ??y kx 消去 y 并整理，得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0.其中Δ＝4k2＋12(k2＋4)＞0 恒成立． 故 x x 2 故 x x ＋ ＝－ ，x x ＝－ . 1 2 k2＋4 1 2 k2＋4 - → 若OA⊥OB，即 x x ＋y y ＝0. 1 2 1 2 而 y y ＝k2x x ＋k(x ＋x )＋1， 1 2 1 2 1 2 于是 x x ＋y y ＝－ 3 3k2 － 2k2 － ＋1＝0， 1 2 1 2 k2＋4 k2＋4 k2＋4 1 化简得－4k2＋1＝0，所以k＝± . 2 18、解：(1)将(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p21，所以 p＝2. 故所求的抛物线C 的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1. (2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝－2x＋t， ??y＝－2x＋t， 由? ??y2＝4x， l 得 y2＋2y－2t＝0. C t t 1 因为直线 与抛物线 有公共点，所以Δ＝4＋8 ≥0，解得 ≥－ . 2 另一方面，由直线OA 与l 的距离d＝ 5 |t| 1 ，解得t＝±1. ?? 1 ?? 5 2?? 1 ?? 2 ，可得 ＝ 5 5 因为－1 ?－2，＋∞?，1∈?－ ，＋∞?， 所以符合题意的直线l 存在，其方程为 2x＋y－1＝0. 19、 解：(1)如图，以A 为坐标原点，AB，AD，AP 所在直线分别为x，y，z 轴建立空间直角坐标系． ∵AP＝AB＝2，BC＝AD＝2 2，四边形ABCD是矩形， ∴A，B，C，D，P 的坐标为A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2 2，0)，D(0,2 2，0)，P(0,0,2)． 又 E，F 分别是AD，PC 的中点， ∴E(0， 2，0)，F(1， 2，1)． - → → ∴PC＝(2,2 2，－2)，BF＝(－1， 2，1)，EF＝(1,0,1)． - → → → ∴PC2BF＝－2＋4－2＝0，PC2EF＝2＋0－2＝0. - → → → ∴PC⊥BF，PC⊥EF. ∴PC⊥BF，PC⊥EF.又 BF∩EF＝F， ∴PC⊥平面BEF. → (2)由(1)知平面 BEF 的一个法向量 n ＝PC＝(2,2 2，－2)，平面 BAP 的一个法向量 n 1 2 → ＝AD＝(0,2 2，0)， ∴n 2n ＝8. 1 2 设平面BEF 与平面BAP 的夹角为 θ ，则 |n 2n | 8 2 cosθ ＝|cos〈n ，n 〉|＝ 1 2 ＝ ＝ ， 1 2 |n ||n | 432 2 2 1 2 ∴θ ＝45°. ∴平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 45°. 20、解：(1)设直线l 的方程为y＝kx＋t(k＞0)，由题意，t＞0. ??y＝kx＋t， 由方程组?x2 ?? 3 ＋y2＝1， 得(3k2＋1)x2＋6ktx＋3t2－3＝0. 由题意 Δ ＞0，所以 3k2＋1＞t2. 设 A(x ，y )，B(x ，y )， 1 1 2 2 由韦达定理得x ＋x ＝－ 6kt ， 1 2 所以 y ＋y ＝ 2t . 3k2＋1 1 2 3k2＋1 由于 E 为线段AB 的中点， 因此 x ＝－ 3kt t ，y ＝ ， E 3k2＋1 y 1 E 3k2＋1 此时 k ＝ E＝－ . OE x 3k E 所以 OE 所在直线方程为y＝－ 1 x. 3k D m x m 1 mk＝1， 又由题设知 (－3， )，令 ＝－3，得 ＝k，即 所以 m2＋k2≥2mk＝2，当且仅当 m＝k＝1 时上式等号成立，所以由 Δ ＞0 得 0＜t＜2，因此当m＝k＝1 且 0＜t＜2 时，m2＋k2 取最小