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矩阵和行列式的几何意义及其应用 　　【摘要】矩阵和行列式对于向量空间的研究十分重要。本文首先给出了矩阵和行列式的定义，并介绍了矩阵及行列式的基本计算法则；然后基于矩阵的基本计算，探究了两个基本的几何变换（旋转和伸缩）及其对应的矩阵形式及参数；最后给出了几个典型的应用场景：求曲线旋转后的解析表达式、根据解析表达式确定曲线的位置。 　　【关键词】矩阵行列式伸缩旋转解析几何 　　【中图分类号】g633.6【文献标识码】a【文章编号】2095-3089（2019）03-0148-02 　　1.引言 　　高中数学虽不涉及矩阵和行列式，但其解析几何、多元方程组的相关知识可以与矩阵建立较强的联系。通过对矩阵及行列式的定义进行研究并探究其几何意义，可以为一些解析几何问题提供新思路[1，2]。 　　伸缩和旋转是两类典型的几何变换，利用矩阵乘法可以建立初始向量和变换（伸缩或旋转或两者的组合）后向量的关系，在向量空间中伸缩和旋转变换均可以和相关矩阵相对应。基于这一想法，本文探究了伸缩和旋转变换的具体矩阵形式和参数。并探究了这一结果在解析几何中的应用。本文在第二部分主要介绍了一些基本概念和基本运算法则，并从向量空间的相关概念出发，将矩阵乘法和伸缩旋转等几何变化过程联系起来。在第三部分主要给出了这一几何意义在解析几何问题中的应用。 　　2.矩阵及行列式的基本概念 　　2.1矩阵的基本概念及运算 　　矩阵的本质是一个表格，由m×n个数组成。 　　a= 　　矩阵a可简写为（a）。当m=n时，矩阵是一个方阵。当m=1时，矩阵有1行n列，称之为行向量。当n=1时，矩阵有m行1列，称之为列向量[1]。向量是特殊的矩阵，了解这一特性有助于对后续相关理论的推导。 　　矩阵可以进行加法和乘法计算： 　　a+b=（a）+（b） 　　a=（a）b=（b） 　　ab=（c） 　　c=ab（i=1，…m；j=1，…n） 　　可以看到，矩阵的加法是将两矩阵对应元素分别相加。矩阵的乘法则是根据“左行乘右列”的法则，进行m×n次相乘及求和的计算，形成一个新的矩阵。特别地，如果是行向量乘以列向量，那么新的矩阵是一行一列，也就是一个数，这个数等于两个向量的内积。 　　2.2矩阵的行列式 　　行列式是与矩阵相关的一个概念。只有方阵（行数与列数相等的矩阵）存在行列式。n阶方阵a=（a），其行列式det（a）或|a|的定義为 　　det（a）=（-1）a，a…a 　　|a|=（-1）a，a…a 　　二阶行列式的表达式为： 　　a=abcd|a|=ad-bc 　　行列式与矩阵的乘法运算具有如下关系： 　　|ab|=|a||b| 　　2.3逆矩阵与转置矩阵 　　如下所示，单位矩阵e是矩阵对角线上全为1的矩阵 　　e= 　　单位矩阵具有特殊的性质，它类似于实数运算中的“1”，类比来看，相乘等于1的两数互为倒数。相乘为单位矩阵的两个方阵互为逆矩阵。a的逆矩阵写作a 　　ab=eb=a 　　将一个矩阵的行列颠倒形成，形成的矩阵为转置矩阵，记为a，若a是方阵，则它转置后对角线元素不变，且行列式不变。两矩阵相乘后的转置有（ab）=ba，这一性质可以由矩阵“左行乘右列”的法则推导出来，且在后续的应用探究中有很大的作用。 　　a=a= 　　|a||a|（ab）=ba 　　2.4矩阵和行列式的几何意义探究 　　对矩阵的乘法运算进行进一步探究和分析。可以看到，n维行向量乘以n阶方阵，可形成新的n维行向量。换言之，向量通过矩阵乘法变成一个新的向量。受此启发，可以用矩阵刻画向量的变换。 　　首先考虑伸缩变换，伸缩变换可以简单理解为将某一向量x、y轴的坐标分别扩大某一倍数。经过简单推导，伸缩变换对应的矩阵可以写为t。 　　t=a00b 　　a=[xy]at=[axby] 　　考虑旋转变换，一个向量a绕原点逆时针旋转θ形成a′，根据高中数学中极坐标和三角函数的相关理论可以做出如下推导 　　a=[xy]x=rcosαy=rsinα 　　a′=[x′y′]x′=rcos（α+θ）y′=rsin（α+θ） 　　[x′y′]=[rcosαcosθ-rsinαsinθrsinαcosθ+rcosαsinθ] 　　=[xcosθ-ysinθxsinθ+ycosθ] 　　=[xy]cosθsinθ-sinθcosθ 　　根据上述推导，二维矩阵进行顺（逆）时针旋转变换的矩阵[3，4]