第十一章第4节函数展开成幂级数.pptxVIP

1 一、泰勒级数 上节例题 存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数 问题: 2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数? 第1页/共27页 2 n阶泰勒公式 则在该 其中 称为拉格朗日余项 . 邻域内有 : 第2页/共27页 3 则称下 列级数 称为麦克劳林级数 . 第3页/共27页 4 待解决的问题 : 1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？ 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 麦克劳林级数 第4页/共27页 5 定理 1 各阶导数, 则 条件是 的泰勒公式中的余项满足 证明: 令 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 第5页/共27页 6 定理2 唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同. 证: 设 则在收敛区间内 显然结论成立 . 第6页/共27页 7 二. 函数展开成幂级数 1. 直接展开法 由上述泰勒级数理论可知 , 第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ; 第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ; 第三步 判别在收敛区间 是否 内 为0 . 函数 展开成幂级数 的步骤如下 : 第7页/共27页 8 例1. 将函数 展开成 x 的幂级数. 解:  级数的收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项有 故 (  在 0 与 x 之间 ) 第8页/共27页 9 例2. 将函数 展开成 x 的幂级数. 解:  级数的收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项有 第9页/共27页 10 类似可推出 第10页/共27页 11 例3. 将函数 展开成 x 的幂级数, 其中 m 为任意常数 . 解: 容易求出 于是  由于 因此, 对任意常数 级数在开区间 内收敛 . m , 第11页/共27页 12 为了避免研究余项 , 设此级数的和函数为 推导 第12页/共27页 13 由此得 称为二项展开式 . 说明： 1 . 在 处的收敛性与 有关 . 2. 当 m 为正整数时, 级数为 x 的 m 次多项式, 上式 就是代数学中的二项式定理. 第13页/共27页 14 第14页/共27页 15 2. 间接展开法 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 将 所给函数展开成 幂级数. 例4. 将函数 展开成 x 的幂级数. 解: 第15页/共27页 16 例5. 将函数 展开成 x 的幂级数 . 解: 从 0 到 x 积分 定义, 且连续 , 利用此题可得 第16页/共27页 17 第17页/共27页 18 第18页/共27页 19 第19页/共27页 20 例8. 将 展成 解: 的幂级数. 第20页/共27页 21 例9. 将 展成 的幂级数. 解: 第21页/共27页 22 第22页/共27页 23 内容小结 1. 函数的幂级数展开法 (1) 直接展开法 利用泰勒公式 ; (2) 间接展开法 利用幂级数的性质及已知展开式的函数 . 2. 常用函数的幂级数展开式 第23页/共27页 24 当 m = –1 时 第24页/共27页 25 作业11-4 P223 2 (2) , (3) , (5) , (6) ; 3 (2) ; 4 ; 6 第25页/共27页 26 返回 第26页/共27页 27 感谢您的观看！ 第27页/共27页