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2022-8-30 1 什麽叫幂级数？ 一、幂级数及其收敛性 每一项都是幂函数的函数项级数 作变换： 第1页/共36页 2022-8-30 2 [解] 问题：幂级数的收敛域是怎样的？ 第2页/共36页 2022-8-30 3 [解] 第3页/共36页 2022-8-30 4 [解] 第4页/共36页 2022-8-30 5 问题： 由以上三个例题 可以看出，幂级数的收敛域 是怎样的？ [小结] 由以上三个例子可见, 幂级数 的收敛域有以下三种情形: (1) 收敛域为整个实数集; (2) 收敛域为一个单点集; (3) 收敛域为一个有穷区间. 第5页/共36页 2022-8-30 6 定理1 ( 阿贝尔定理 ) 绝对收敛 发散 第6页/共36页 2022-8-30 7 在 x1 收敛 在 X2 发散 第7页/共36页 2022-8-30 8 怎样证明? 第8页/共36页 2022-8-30 9 第9页/共36页 2022-8-30 10 第10页/共36页 2022-8-30 11 问题： 由阿贝尔定理看， 幂级数的收敛域有何特点？ 第11页/共36页 2022-8-30 12 第12页/共36页 2022-8-30 13 定义 (幂级数的收敛半径、收敛区间) 第13页/共36页 2022-8-30 14 第14页/共36页 2022-8-30 15 第15页/共36页 2022-8-30 16 问题： 怎样求幂级数的收敛半径? 第16页/共36页 2022-8-30 17 第17页/共36页 2022-8-30 18 第18页/共36页 2022-8-30 19 第19页/共36页 2022-8-30 20 第20页/共36页 2022-8-30 21 缺项! 第21页/共36页 2022-8-30 22 第22页/共36页 2022-8-30 23 一致收敛 定理1：（内闭一致收敛性） 二、幂级数的解析性质 第23页/共36页 2022-8-30 24 第24页/共36页 2022-8-30 25 定理2：（和函数的连续性） 第25页/共36页 2022-8-30 26 第26页/共36页 2022-8-30 27 第27页/共36页 2022-8-30 28 定理3：（逐项积分） 第28页/共36页 2022-8-30 29 [证] 第29页/共36页 2022-8-30 30 定理4：（逐项微分） 第30页/共36页 2022-8-30 31 第31页/共36页 2022-8-30 32 第32页/共36页 2022-8-30 33 第33页/共36页 2022-8-30 34 用反证法 第34页/共36页 2022-8-30 35 第35页/共36页 2022-8-30 36 感谢您的观看！ 第36页/共36页
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