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高中数学导数 知识点总结及练习题 函数的应变数随着自变数改变，而求变化率极限的操作就称为微分。本节由切线斜率的观点引入导数的概念，并介绍微分的基本运算公式与高阶导函数。透过微分的概念，在物理学中可以求出物体直线运动的瞬时速度与加速度 ※切线斜率 令 A，B 点坐标分别为 A（a，f（a）），B（x，f（x）） 当 x → a 时，割线 AB?斜率的极限 即通过 A 点的切线 L 的斜率。 因割线 AB?的斜率为， 故切线 L 的斜率为 。 例题1 试求 y＝x2 的图形上，以点 A（1，1）为切点的切线斜率。 固定点 A（1，1），令点 B（x，x2）在函数图形上，则割线 AB?的斜率为?。 当 x → 1 时，B 会趋近 A，上式的极限即为过 A 点的切线斜率。 因＝＝（x＋1）＝2，故所求切线斜率为 2。 随堂练习 试求 y＝x2 的图形上，以点 A（3，9）为切点的切线斜率。 ※导数概念 定义在 x＝a 附近的函数 f（x），我们定义 f（x）在 x＝a 的导数如下： ※?f（x）在 x＝a 的导数 对于函数 f（x），若极限存在，则称此极限为 f（x）在 x＝a 的导数，记为 f ′（a）。 当此极限存在，我们称 f（x）在 x＝a 有导数或可微分。 反之，则称不可微分。 例题2 令函数 f（x）＝2x2－1，试求 f ′（2）。 由导数的定义， f ′（2）＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 2（x＋2） ＝8。 随堂练习 令函数 f（x）＝x2－3，试求 f ′（－5）。 ※可微分一定连续 若函数 f（x）在 x＝a 可微分（有导数），则 f（x）在 x＝a 连续。 一般而言， f（x）在某一点连续，并不能保证在该点可微分。 但是在某一点可微分，却可以保证在该点连续。 ※ f（x）＝|x| 的 f ′（0）不存在，亦即在 x＝0 没有切线。 例题3 令函数 f（x）＝|x|，证明 f（x）在 x＝0 不可微分。 我们证明 f ′（0）不存在。如图 5，由导数的定义， f ′（0）＝ ＝ ＝， 但＝1，＝－1，可知此极限不存在， 因此 f（x）在 x＝0 没有导数，故不可微分。 随堂练习 令函数 f（x）＝，证明 f（x）在 x＝0 不可微分。 ※导函数 给定函数 f（x），此函数在某范围中可微分。设 a 在此范围中，则 “由 a 对应到 f ′（a）” 定义了一个函数关系。此函数称为 f（x）的导函数，记为 f ′（x）或 f（x）。 例题4 试求 f（x）＝x4 的导函数 f ′（x）。 令 a 为实数，我们先求 f ′（a）。 f ′（a）＝＝ ＝ ＝（x3＋ax2＋a2x＋a3）＝4a3， 因此，有 a 对应到 4a3 的函数关系，故导函数为 f ′（x）＝4x3， 即（x4）′＝4x3 或 x4＝4x3。 随堂练习 (1)试求 f（x）＝x3 的导函数。 (2)试求 f（x）＝c 的导函数（c 为常数）。 基本的微分公式 ※公式 1：常数函数 设 f（x）＝c 为常数函数，则（c）′＝0。 ※公式 2：单项式函数 设 n 为正整数且 f（x）＝xn，则（xn）′＝nxn－1。 ※公式 3：倍数 设函数 f（x）为可微分函数，c 为常数，则（c f（x））′＝c f ′（x）。 ※公式 4：函数的加减法 设函数 f（x） 与 g（x）皆为可微分函数，则： (1)（f（x）＋g（x））′＝f ′（x）＋g′（x）。 (2)（f（x）－g（x））′＝f ′（x）－g′（x）。 ※公式 5：多项式函数的微分 （an?xn＋an－1?xn－1＋…＋a2?x2＋a1?x＋a0）′ ＝nan?xn－1＋（n－1）an－1?xn－2＋…＋2a2?x＋a1。 【证】函数 f（x）＝c 在 x＝a 的导数为 f ′（a）＝＝＝?0＝0。 【证】函数 f（x）＝xn 在 x＝a 的导数为 f ′（a）＝ ＝ ＝ ＝（xn－1＋axn－2＋a2xn－3＋…＋an－2x＋an－1）＝nan－1， 故 f ′（x）＝nxn－1。 【证】函数 c f（x）在 x＝a 的导数为 ＝c?＝c f ′（a）， 故（c f（x））′＝c f ′（x）。 【证】(1)函数 f（x）＋g（x）在 x＝a 的导数为 ＝＋ ＝f ′（a）＋g′（a）， 故（f（x）＋g（x））′＝f ′（x）＋g′（x）。 (2)可仿照上述定义证明或利用已经有的结果证明如下： （f（x）－g（x））′＝（f（x）＋（－g（x）））′ ＝?f ′（x）＋（－g（x））′ （由