高中数学积分的意义.docVIP

高中数学积分的意义 本节首先介绍如何利用极限来求函数与 x 轴之间所围区域的面积，由此我们定义出定积分的概念，最后得到微积分基本定理，说明积分正是微分的反运算。 计算面积 利用规则形状的面积来“逼近”所求区域面积的概念，来求出多项式函数 f（x）在区间[ a，b ]与 x 轴所围区域的面积。 上和及下和 我们利用一个典型的范例来说明这一整节的概念。考虑函数 y＝x2，我们来求此函数图形在区间[ 0，1 ]与 x 轴所围区域 R 的面积，如图 48。 　　　　　　 下和 ≦ R 的面积 ≦ 上和 例题1 利用上和及下和取极限，试求在区间[ 0，1 ]之间，函数 f（x）＝x2 的图形与 x 轴所围区域的面积。 随堂练习 试求在区间[ 0，1 ]之间，函数 f（x）＝x3 的图形与 x 轴所围区域的面积。 ※定积分的定义 函数 f（x）在区间[ a，b ]为连续函数，则此函数在区间[ a，b ]的定积分记为 ， 定积分的结果是一个数值且为上和及下和的共同极限，即 ＝Un＝Ln 例题2 试求 。 随堂练习 试求。 例题3 设 b 是正实数，试求 。 随堂练习 试求 。 定积分符号是怎么来的，定积分是由上和（或下和）取极限而来 f（x）称为被积分函数，a 称为定积分的下限，b 称为上限。∫…dx 表示是“对变量 x 作积分”。函数的变量只要一致就好，例如 和 代表同一个积分。 定积分的性质 定积分与面积 由定积分的定义， (1) 若在区间 [ a，b ]?都有 f（x）≧0，则定积分 就是函数 f（x）在区间 [ a，b ]?与 x 轴所围区域的面积。 (2) 若在区间 [ a，b ]?都有 f（x）≦0，则定积分 就是函数 f（x）在区间 [ a，b ]?与 x 轴所围区域的面积之负值。 (3) 当被积分函数 f（x）在区间 [ a，b ]?有正有负时，定积分的结果是 （x 轴上方的面积）－（x 轴下方的面积）。 ＝A－B＋C。 例题4 c 为常数，证明定积分?＝c（b－a）。 随堂练习 试求定积分?。 例题5 已知半径为 r 的圆面积为 πr2，试求?。 随堂练习 试求?。 定积分的运算性质 设函数 f（x）与 g（x）都在区间[ a，b ]连续，c 为常数，则 (1)定义?＝0。 (2)当?a＞b?时，定义 ＝－。 (3)＝。 (4)＝±。 例题6 (1)试求定积分。 (2)已知?＝3，＝4，试求 的值。 随堂练习 已知?＝3，＝－7，试求? 的值。 ※定积分的区间可加性 若函数 f（x）在三个实数 a，b，c 所决定的区间[ a，b ]，[ a，c ]，[ c，b ]上都有定积分，则 ＝＋。 例题7 已知?＝10，＝3，试求。 随堂练习 已知?＝1.5，＝3.5，试求?。 例题8 试求定积分?。 随堂练习 试求定积分?。 ※定积分保持不等关系 (1)若函数 f（x）在区间[ a，b ]连续，且 f（x）≧0 恒成立，则 ≧0。 (2)若函数 f（x）与 g（x）在区间[ a，b ]连续，且 f（x）≧g（x）恒成立，则 ≧。 直观上可说明这两个性质如下： (1) 如果函数图形都不会落在 x 轴下方。 (2) 在 f（x）≧g（x）≧0 。 ※反导函数 若函数满足 F′（x）＝f（x）， 则称 F（x）为 f（x）的一个反导函数。 注意 3x2 的反导函数有无限多个，比如 x3，x3＋5 等都是。但是它们之间只相差一个常数。 即 F（x）＝G（x）＋C。 例 ∫3x2dx＝x3＋C 例题9 试求下列不定积分： (1) ∫4x3dx。　　　(2) ∫x3dx。　　　(3) ∫xndx。　　　(4) ∫1 dx。 随堂练习 试求不定积分：(1) ∫x5dx。　　　　　(2) ∫（3x＋5）dx。 例题10 试求不定积分∫（x3＋4x2－7x＋6）dx。 随堂练习 试求不定积分∫（－x2－3x＋9）dx。 ※多项式函数的不定积分 ∫（an xn＋an－1xn－1＋…＋a2 x2＋a1x＋a0）dx ＝ xn＋1＋ xn＋…＋ x3＋ x2＋a0x＋C，其中 C 为任意常数。 ※微积分基本定理 若函数满足 F（x）是 f（x）的一个反导函数，则 ＝F（b）－F（a）。 微分和积分互为逆运算。 定积分的计算 有了微积分基本定理，我们就可以不用麻烦的用上和、下和来算定积分了。要求，可以用以下步骤： (1)找到一个反导函数 F（x）。 (2)计算 F（b）－