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高中数学 复数的几何意义习题及答案解析 【习题】 如图﹐矩形ABCD的边平行坐标轴﹐中心在原点O﹐A点所对应的复数为z﹒选出正确的选项﹕　(1)B点所对应的复数是一个实数　(2)C点所对应的复数为 ? z　(3)D点所对应的复数为z的共轭复数　(4)　(5)﹒ 解答 　2345 　 解析 　设z ? x ? yi﹐x﹐y为实数﹒(1)因为B点不在x轴上﹐所以对应的复数不是一个实数(2)因为C与A的中点为O﹐所以C( ? x ? yi) ? C( ? z)(3)因为D与A对称x轴﹐所以(4)由复数绝对值的定义﹐得(5)因为等于z与两点的距离﹐所以故选(2)(3)(4)(5)﹒ 2. 在复数平面上﹐所有满足方程式| z ? 4 | ? 5的复数z﹐会形成什么图形﹖又若z为纯虚数﹐则z的值为何﹖ 　 解答 　一圆﹐± 3i 　 解析 　(1)设z ? x ? yi﹐x﹐y为实数﹒因为| z ? 4 | ? 5﹐所以| (x ? 4) ? yi | ? 5﹒　由复数绝对值的定义﹐得﹒　因为(x ? 4)2 ? y2 ? 25的图形为一圆﹐所以所有的复数z形成的图形为一圆﹒(2)因为z为纯虚数﹐所以可设z ? yi﹐y为非零实数﹒　因为| z ? 4 | ? 5﹐所以| ? 4 ? yi | ? 5﹐即﹒　解得y ? ± 3﹐故z ? ± 3i﹒ 3. 将下列各复数写成极式（辐角取主辐角）﹕(1)z ? 5 ? 5i﹒(2)﹒(3)z ? 4﹒(4)z ? ? 3i﹒ 　 解答 　(1);(2);(3)4(cos0 ? isin0);(4) 　 解析 　(1)﹒(2)﹒(3)z ? 4 ? 0i ? 4(1 ? 0i) ? 4(cos0 ? isin0)﹒(4)z ? 0 ? 3i ? 3(0 ? i) ?﹒ 4. 将下列各复数写成极式（辐角取主辐角）﹕(1)sin200? ? icos160?﹒(2) ? 3(sin20? ? icos20?)﹒ 　 解答 　(1)cos110? ? isin110?;(2)3(cos250? ? isin250?) 　 解析 　(1)原式 ? ? sin20? ? icos20? ? cos(90? ? 20?) ? isin(90? ? 20?) ? cos110? ? isin110?﹒(2)原式 ? 3( ? sin20? ? icos20?) ? 3(cos(270? ? 20?) ? isin(270? ? 20?))　　　 ? 3(cos250? ? isin250?)﹒ 5. 求下列各式的值﹕(1)(cos5? ? isin5?)(cos10? ? isin10?)(cos15? ? isin15?)﹒(2)﹒(3)2(cos70? ? isin70?) ? 3(cos40? ? isin40?)﹒(4)(sin30? ? icos30?)6﹒ 　 解答 　(1);(2);(3);(4)1 　 解析 　(1)原式 ? cos(5? ? 10? ? 15?) ? isin(5? ? 10? ? 15?) ? cos30? ? isin30? ?﹒(2)原式　　　﹒(3)原式 ? 2(cos70? ? isin70?) ? 3(cos( ? 40?) ? isin( ? 40?)) ? 6(cos30? ? isin30?) ?﹒(4)原式 ? (cos60? ? isin60?)6 ? cos360? ? isin360? ? 1 ? 0i ? 1﹒ 6. 如图﹐已知O为原点﹐A(2,1)﹐?AOB ? 60?﹐﹐且OABC为平行四边形﹐求B点与C点的坐标﹒ 　 解答 　﹐ 　 解析 　如图﹐先以O为中心﹐将点A(2 ? i)依逆时针方向旋转60?﹐得点A?﹔再将以O为中心延长2倍后﹐就可得B点﹒利用复数乘法的几何意义﹐计算﹐得B的坐标为﹒又由矢量的减法﹐得﹐故C的坐标为﹒ 7. 求下列各式的值﹕(1)﹒(2)﹒(3)﹒ 解答 　(1);(2);(3) 　 解析 　(1)因为﹐　所以﹒(2)因为﹐　所以﹒(3)因为﹐　　　﹐　所以原式 ? 2 ? 6(cos( ? 360?) ? isin( ? 360?)) ? 2 ? 6(cos360? ? isin360?)　　　　　 ﹒ 8. (1)求i的3个三次方根﹒(2)在复数平面上﹐求i的3个三次方根为顶点的三角形之面积﹒ 　 解答 　(1)﹐﹐? i;(2) 　 解析 　(1)设z ? r(cos? ? isin? )为i的三次方根﹒　因为﹐所以﹒　于是﹐k为整数﹒　故i的三次方根为﹐k ? 0﹐1﹐2﹒　即﹐﹐