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《微积分初步》单元学习辅导一（函数极限连续） 微积分初步学习辅导（一） ——函数、极限和连续部分 学习重难点解析 （一）关于函数的概念 1.组成函数的要素: (1)定义域: 自变量的取值范围D； (2)对应关系：因变量与自变量之间的对应关系f. 函数的定义域确定了函数的存在范围，对应关系确定了自变量如何对应到应变量.因此， 这两个要素一旦确定，函数也就随之确定.所以说，两个函数相等（即f (x) g(x) ）的 分必要条件是两个函数的定义域和对应关系都相等.若两者之一不同，就是两个不同的函数. 2.函数定义域的确定 对于初等函数，一般要求它的自然定义域，具体说来通过下面的途径确定： (1) 函数式里如果有分式，则分母的表达式不为零； (2) 函数式里如果有偶次根式，则根式里的表达式非负； (3) 函数式里如果有对数式，则对数式中真数的表达式大于零； (4)如果函数表达式是由若干表达式的代数和的形式，则其定义域为各部分定义域的公 共部分； (5)对于分段函数，其定义域为函数自变量在各段取值的之并集. (6)对于实际的应用问题，应根据问题的实际意义来确定函数的定义域. 3.函数的对应关系 函数的对应关系f 或f （ ）表示对自变量x 的一个运算，通过f 或f （ ）把x变成了 3 y，例如yf (x) 2x 5x1，则f 代表算式 f ( ) 2( )3 5( ) 1 括号内是自变量的位置，运算的结果得到因变量的值. （二）关于函数的基本属性 函数的基本属性是指函数的单调性、奇偶性、周期性和有界性.了解函数的属性有助于 我们对函数的研究. 理解函数属性中需要注意下面的问题： 1.关于函数的奇偶性：讨论函数的奇偶性，其定义域必须是关于原点对称的的区间，函 数奇偶性的判别方法是函数奇偶性定义和奇偶函数的运算性质，即  奇函数 奇函数=奇函数  奇函数 偶函数=非奇非偶函数 1 / 8  奇函数 奇函数=偶函数  奇函数 偶函数=奇函数  偶函数 偶函数=偶函数 2n1 2n 并记住常见的奇函数有x , sin x；常见的偶函数有x ,cos x. 2. 关于函数的单调性 单调函数是与相应的区间相联系的，例如，函数 yx2 在(,0) 是单调递减的，在 (0,) 是单调递增的，在(,) 内不是单调函数. 单调递增（或递减）函数的图形是随着自变量的增大在上升（或下降）的. （三）函数的函数—函数的复合运算 我们可以这样理解复合函数的概念：当一个函数的自变量用另一个函数的因变量代替，  2 x 就可能产生复合函数，例如在函数ylg x中，用u (x) 1x 替换 ，即得  2 yf (u) f ( (x)) lg(1x ) . 2 1x2 ylg(1x ) lg x 这里的函数 可以看成由函数 和函数 复合而成的.但是要注意，不是 任何两个函数都可以构成复合函数的，例如，由f (x)  x1和(x) 1x2 就不能构成 