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极点极线
定义 已知圆锥曲线 С: Ax +By +Cx+Dy+E=0 与一点 P(x ,y ) [ 其中 A +B x +x
0 0 0
≠0,点 P 不 在 曲 线 中 心 和 渐 近 线 上 ]. 则称点 P 和直线 L:
． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ．
0 0 y +y С
A?x x+B?y y+C? 2 +D? 2 +E=0 是圆锥曲线 的一对极点和极线
x +x y +y
0 0
0 0
即在圆锥曲线方程中 , 以 x x 替换 x ， 以 2 替换 x，以 y y 替换 y , 以 2 替
换 y 则可得到极点 P(x ,y ) 的极线方程 L.
0 0
特别地：
(1) 对 于 圆 (x-a) +(y-b) =r , 与 点 P(x ,y ) 对 应 的 极 线 方 程 为
0 0
(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)=r ；
x y x x y y
0 0
0 0
(2) 对于椭圆 + =1，与点 P(x ,y )对应的极线方程为 + =1 ；
0 0
a b a b
x y x x y y
0 0
(3) 对于双曲线 - =1，与点 P(x ,y )对应的极线方程为 0 - 0 =1 ；
a b 0 0 a b
0 0 0 0
(4) 对于抛物线 y =2px，与点 P(x ,y ) 对应的极线方程为 y y=p(x +x) ； 性质 一
般地,有如下性质 [焦．点．所．在．区．域．为．曲．线．内．部． ]:
①若极点 P 在曲线 С上,则极线 L 是曲线 С在 P 点的切线；
②若极点 P 在曲线 С外,则极线 L 是过极点 P 作曲线 С的两条切线的切
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