同济大学11-12-3高数A期中试卷.答案 - 副本.docxVIP

11级高数A下册期中试题及解答2012.04 填空题(此题共5小题，每题4分，总分值20分)22 1. lim ————二 044 1 ② x +y yfooJ.设z = z(x,y)由方程z = f于(t)dt确定，其中f连续，那么dz = JT.设2 = ￡〃(一2，)，贝 l」Rez= In 2 , Imz= 卜 2k 兀 ； 2.曲面2xy-z-3 =1在点(1,2,0)处的法线方程为--—=—； 1.交换积分次序: 口门(羽加+二呵「f (x, y)dx = J； ck j - A 于(x, y)dy 二.单项选择题(此题共4小题，每题4分，总分值16分).设曲线C为圆周/ + /=],那么曲线积分必评+产―以)为= [c ] (A) 1(B) (A) 1 (B)-3(0 271 (D) -6tt .设O = {(x,y) |-1 jx,-1x1},那么(A) (A) (A)JJ x1 dxdy = 0D (A) JJ x1 dxdy = 0 D (B) JJ (3y3 + x4)dxdy = 0 D (C) JJxln(y + J + y2 )dxdy = 0 (D) JJ (sin y + cos x)dxdy = 0 D 71. p—f Sin 69.二次积分 ￡2 d°Jo /(/?cos0,夕sin(p)pdp 可以写成 ⑷〕：dy￡^ f{x, y)dx(B)[dyj产 /(x, y)dx(C)(D) J； /(%, y)dy .以下表述正确的选项是[B ](A)假设/鱼，了)在点(%,%)处存在偏导数，那么lim/(x,y) 一定存在； 入f0 )f0(B)假设复变函数/(z)在点z0处解析，那么/(z)在点z0的某个邻域内必然连续； (C)假设z = /(x,y)在点(%,%)处存在偏导数九九，那么z = /(%?)在该点处必可微;(D)以上表述皆不正确。 三,计算以下各题(此题共5小题，每题8分，总分值40分)1 ,设函数。=ln(2xz2arcsiny), 0在点2)处沿哪个方向的方向导数最大？并求最大 的方向导数。 解：方向导数最大的方向：g, .设 Z = /(%2 一 y2,孙)+ g,+y2 dz 口 d2z —及O dx dxdy Sz 解：水=2防+比+2xg， ox .设平面乃过原点及点加(6,—3,2), 平面〃的方程。 radU 屈=11,生旦,1 ,最大值为 \gradU\ = ^1 + ^ ),其中/具有二阶连续偏导数，g具有二阶导数，求 分2 =4 M ]+2(x )九+冲力2 +力+4盯g oxoy 且与曲面2/ — y + %? = 2在点P(l, 1,1)处的切平面垂直，求 解：nx ={4x,—l,2z}p ={4,-1,2} 乃=% xOM = {4,- 那么所求平面方程：2%+2y-3z = 0 .求 JJ1一/ max{x,y}db, D:0x 1, O j1 D 解： 原式=-丁)工40 +JJ(j-x2)X6/(t +jj(y-x2)ydcy ￡]。2。3 =Jo 呵:(%2 - y)她 + J；时；(y-x2)xdy+J。”] 1 1 11 11 —11- 12 120 60 40 .计算第一型曲面积分曲(f+y)dS,其中S是锥体Jf+y2 S 解： 原式 对称性此Yds = jj x2ds + JJ x2ds SS]s2 =Jj d . yfidxdy + JJ a:2 ? \dxdy DD = (V2+ 1)JJ ?公力轮换对称(8+ 1)- D2 V2 + 112 乃ri 21V2 + 1 =2 Jo 喇。夕 Pdp= 4 1 12}x{6,—3,2} = 2{2,2,—3} (y-x2)ydy Wz《l的外表。 [J (x2 + y2)dxdy D 四(此题总分值8分)设/(z) = 〃(x,y) + iu(x,y)是解析函数，实部〃 二Y 一V+以，且 /(0) = —32,求/(z)的表达式(单独用z表示)。 解：/(z)=胃 _y2 +4x + i(2兀y + 4y + C) = z2 +4z + a = z2 +4z — 3i五(此题总分值8分)求由2 = ,2(12+9)与z = J3 —喘一/所围成的立体图形的质心(设密度 为常数)。 解：由对称性知：亍=0,9=0,N =厂4=%(用仿,故知心坐标为(0,09-(/3 + V2)) RpV 2(V3-V2 88 Q2 y2 六(此题总分值8分)在第一卦限内作曲面S:z = 4-Y—亍 的切平面，使得切平面与三个坐标平4 面及曲面S所围成的立体体积最小。求切点的坐标，并求最小体积。 设切点P(x, y, Z), 设切点P(x, y, Z), x2+ — + z- 4 = 0 4 切