《汽车振动分析与测试》第8章 连续系统振动分析.pptVIP

* 汽车振动分析与测试 第6章 连续系统振动分析 【本章学习目标】 ★ 掌握弦的横向振动微分方程的建立及求解； ★ 熟练掌握连续体振动微分方程的时间和空间变量分离方法； ★ 掌握杆的纵向振动及轴的扭转振动的微分方程及求解过程； ★ 熟悉梁的横向振动振动微分方程及其求解； ★ 熟悉薄板弯曲振动微分方程建立及其求解过程，矩形薄板自由振动的levy解，圆形薄板的自由振动，薄板固有频率的变分式,用Rayleigh-Ritz法分析薄板的自由振动，薄板的强迫振动； ★ 了解连续系统振动模态的正交性，了解连续系统的强迫振动的模态分析方法 【本章学习方法】 连续系统振动，与多自由度离散系统不同，具有较强的理论分析。因此，学习本章应该在注重理论推导和分析的前提下，注重与实际问题模型相结合，加深理解课堂理论学习的内容，掌握连续系统振动的特点、方程的建立及求解方法，同时，与实际连续体振动工程计算相结合，利用所学的理论来分析实际工程中所遇见的连续系统的振动问题。 【本章学习要点】 所谓连续系统，其质量、弹性及阻尼都是连续分布的，所以，与离散振动系统相比，其自由度不是有限的，而是无限的，因而又称为无限自由度振动系统或弹性体振动系统。 第1节 弦的横向振动问题 单位长度质量为m的一根柔性张紧弦，其内部张力为T，如图所示。 柔性张紧弦的横向振动 设弦的横向变形u既是空间变量x的函数，又是时间t的函数，即 弦上取微元dx的隔离体，弦的横向振动微分方程为 式中，c 2=T/m 解包含4个任意常数，可由弦的边界条件和初始条件加以确定 2个边界条件为 2个初始条件为 由于连续系统无阻尼，可假设振动模式是简谐的 代入微分方程，并消去正弦项，可得弦的自由振动特征函数微分方程为 解为 弦的横向自由振动解的形式 由边界条件u(0,t)=0,可得 B=0 由边界条件u(l,t)=0,可得 或 上式称为频率方程或特征方程 由于系统是线性的，其通解为所有主模态的叠加，即 由于 是由边界条件决定的，所以振动模态决定于边界条件。 通解可表示为 应用初始条件可得 将f(x)和g(x)展开为傅里叶级数，即 可得 弦的横向振动响应可表示为 第2节 时间与空间变量分离方法 设偏微分方程满足如下形式的函数： 将上式代入微分方程得 由于上述方程的左侧与t无关，方程的右侧与x无关，而等式对所有的x与t都成立，所以，方程两侧都等于一个常数。假设该常数为 ω2 ，则上式可得到两个常微分方程,即 解 解可表示为 式中，系数A，B，C和D是由边界条件与初始条件确定的常数。 第3节 杆的纵向振动及轴的扭转振动 图 杆的纵向振动 为杆上微元dx的轴向位移 令 由虎克定律可知，杆的应力与应变之间的关系 式中，P为微元dx处的力；A为杆的横截面；E为杆材料弹性模量。 根据牛顿第二定律得 杆纵向振动的微分方程为 若AE为常量 式中， 可知：杆的纵向振动微分方程，与弦的振动方程形式相同 同理，也可以导出轴扭转振动的微分方程为 若IpG为常量，则上式可化为 式中， 可知，轴的扭转振动微分方程，也与弦的振动微分方程的形式相同 第4节 梁的横向振动 图 梁的横向振动 梁上一微元dx的隔离体图，由牛顿第二定律，梁横向的振动微分方程为 或 式中，m为单位长度的质量；V为剪力。 将微元dx右侧面处所有弯矩相加，得出 或 由材料力学知识可知，梁的曲率与弯矩的之间关系为 式中，EI为梁的弯曲刚度。 梁的横向振动的振动方程可化为 若EI为常数，又定义a2= ， 则上述梁的横向振动微分方程简化为 * * * * *