《逆向建模与产品创新设计》第2章 产品建模数学理论基础.pptVIP

逆向工程建模与产品创新设计 ２.1 曲线、曲面的数学描述 ２.2 插值、逼近、拟合 ２.3 光顺性与连续性 ２.4 B样条曲线、曲面 ２.5 B样条曲线曲面的拟合 第二章　产品建模数学理论基础　 ２.１、曲线、曲面的数学描述 1、显示描述 曲线：y = f(x) 曲面：z = f(x,y) 2、隐式描述 曲线：f(x，y) = 0 曲面：F(x, y, z) = 0 不足： x y 每个先x值只能对应一个y值，所以用显式方程不能表示封闭或多值曲线 出现斜率为无穷大的情况 不足： y x y x 与坐标轴相关的，函数描述不具有唯一性 不便于计算机处理 (0, 0) (1, 1/2) (2, 0) (0, 0) 3、参数描述 曲线：x = x(t)， y = y(t) 曲面：x = x(t)， y = y(t)，z = z(t) 1）可以与坐标无关的 2）便于处理斜率为无穷大的情况 3）规格化的参数变量[ 0, 1 ] 4） 便于计算机处理（矩阵表示） ２.２、插值、逼近、拟合 1、插值 给定一组有序的数据点Pi (i=0, 1, … , n)， 构造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值（Interpolation），所构造的曲线成为插值曲线。 曲面依然。 1）优点与测量点的误差为零 2）测量点过多时，控制困难 3）测量有误差时，光顺性差 2、逼近 1）可以用低阶函数 2）测量点过多时，较少的控制点 3）测量有误差时，保证光顺性 给定一组有序的数据点Pi (i=0, 1, … , n)，在允许误差范围内,构造一条曲线，接近这些数据点，称为对这些数据点进行逼近（Approximation），所构造的曲线成为逼近曲线。 曲面依然。 3、拟合 插值和逼近统称拟和（Fitting） ２.３、连续性与光顺性 1、连续性 参数连续，Ck，方向一致，大小相等 几何连续， Gk，方向一致。 几何连续并不一定参数连续 C0和G0连续：位置连续。 P Q1 Q2 Q3 Q4 1、连续性（续） C1和G1连续：一阶参数连续，切向连续。 C2和G2连续：二阶参数连续，曲率连续。 G2连续 G1连续 几何连续比较 2、光顺性（Smoothness 或 Fairness） 二阶几何连续（位置、切线方向、曲率矢量连续） 不存在奇异点和多余拐点 曲率变化较小 应变能较小 ２.４、B样条曲线与曲面 1、样条的来历 2、样条的多项式插值表示 形式简单，求解方便 系数几何意义不明显，不便于控制操作 当n很大时，解线性方程组费时，不可取 3、三次B样条曲线 3、三次B样条曲线（续） 保持了形式简单，求解方便 系数几何意义不明显，便于控制操作 保证光顺性 4、非均匀有理B样条NURBS曲线（续） 3、三次B样条曲面（续） 基于B样条曲线的数学描述，可以得到B样条曲面的数学描述以及性质。给定个空间点列，则次B样条曲面方程为： 其中，，是k次和l次的B样条基函数，由组成的空间网格称为B样条曲面的特征网格。 ２.5、B样条曲线与曲面的拟合 一般过程 型值点与控制点完全不同 由型值点反算出控制点 由控制点计算B样条曲线、曲面 连续性光顺性评价 ２.6、曲面的应用 曲面在模具中的应用 曲面在汽车工业中的应用 小结 本章主要对逆向建模过程中所涉及的曲线、曲面数学理论知识进行论述，在此基础上着重介绍非均匀有理B样条曲线、曲面的连续性与光顺性的相关概念及检查评定方法。并对CAD设计中涉及的常用术语进行解释。最后就自由曲面的应用领域作了全面的综述。在学习中，注意概念的理解与UG CAD软件相结合来掌握非均匀有理B样条的数学定义。