2022年考研数学三真题解析.docxVIP

2022 !#$%()*+,-. /*(0).1 !#$%110 (%,)(% 5 *,+ 50 *,-.)%/0123#45,67!3#4 89:%;=1, （1） x ? 0 时，a( x) ， b ( x) 是非零无穷小量，给出以下 4 个命题： ①若a ( x ) ! b ( x) ，则a 2 ( x ) ! b 2 ( x); ②若a 2 ( x ) ! b 2 ( x)，则a ( x ) ! b ( x) ; ③若a ( x ) ! b ( x) ，则a ( x ) - b ( x ) = o(a( x)) ; ④若a ( x ) - b ( x ) = o(a( x)) ，则a ( x ) ! b ( x) ; 其中真命题是：（ ） （A）①③. （B）①④. （C）①③④. （D）②③④. 【答案】（C）. 【解析】 ①若a ( x ) ! b ( x) ，则 lim a( x) =1.因此 lim a 2 ( x ) = lim a ( x ) × a( x) =1 × 1 =1，①正 确. x?0 b ( x) x ?0 b 2 ( x ) x?0 b ( x ) b( x) ②错，反例a ( x ) = x , b ( x ) = -x ; ③若a ( x ) ! b ( x) ，则 lim a( x) =1，则 lim a ( x ) - b ( x ) = lim a ( x ) - b( x) =1 -1 = 0， x?0 b ( x) x ?0 a ( x ) x?0 a ( x ) a( x) 因此a ( x ) - b ( x ) = o(a( x)) ，③正确. ④若a ( x ) - b ( x ) = o(a( x)) ，则 lim a ( x ) - b ( x) = 0 ，则 lim a ( x ) - b( x) = b ( x) b ( x) x?0 a( x) x?0 a ( x )a( x) 1 - lim = 0 ，则 lim =1，即a ( x ) ! b ( x) ，④正确. x?0 a( x) x?0 a( x) 因此真命题有①③④，选 C. ( -1)n （2）已知 a = n n - ， ( n =1, 2,!, n) ，则（ ） n n （A）有最大值，有最小值. （B）有最大值，没有最小值. （C）没有最大值，有最小值. （D）没有最大值，没有最小值. 【答案】（A）. 【解析】 1 lim n n =1，因此 n n 必有界.且根据 x x 的单调性可得 x e 时单增，x e 时单减，因 n?￥ 此下界是 1，22 和 33 是最大的两个值，对于数列 an 来说，a1 = 1 + 1 = 2 ，a2 = 2 - 12 1， ( -1) 3 1 ( -1)n 当 n 3 时，3 3 在 n n 中取最大值，- = 在 - 中取最大值，所以必有最大值， n 3 n 排除（C）（D）. 再考虑是否有最小值，只有 n 为偶数时才有可能成为最小值，接下来证明当 n 3时， 1 n - 1 1，即证 n +1 -1 n ，即证 n n +1 ( n +1)n .可以利用单调性，证明 b a e 时， n n n a b ba ，因此 n 3，可得 n n +1 ( n +1)n ，即 n 3时， nn - 1n 1成立.因此仅当 n = 2 时， a2 = 2 - 12 1为最小值. 因此选（A）. （3） f (t )连续， F (x , y ) = ò0x - y (x - y - t )f (t )dt ,则（ ） （A） Fx￠ ( x, y ) = Fy￠ ( x, y ) , Fxx￠￠ ( x, y ) = Fyy￠￠ (x, y). （B） Fx￠ ( x, y ) = Fy￠ ( x, y ) , Fxx￠￠ ( x, y ) = -Fyy￠￠ (x, y). （C） Fx￠ ( x, y ) = -Fy￠ ( x, y ) , Fxx￠￠ ( x, y ) = Fyy￠￠ (x, y) （D） Fx￠ ( x, y ) = -Fy￠ ( x, y ), Fxx￠￠ ( x, y ) = -Fyy￠￠ (x, y) 【答案】（C）. 【解析】 F ( x , y ) = ò0x - y ( x - y - t ) f (t )dt =x ò0x - y f (t )dt - y ò0x - y f (t )dt - ò0x - y tf (t )dt \ ??Fx = ò0x - y f (t )dt + xf ( x - y ) - yf ( x - y ) - ( x - y ) f ( x - y