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知 识 点 １ 有理数 １. 正数和负数 (１) 在正数前面加“ －” 的数 叫做负数.负数比 ０ 小. (２) 零既不是正数也不是负数 零是正数和负数的分界. (３) 对于正数和负数的概念 不能简单理解为:带“ ＋” 号的数是正数 带“ －” 号的数是 负数.例如:－ａ 一定是负数吗? 答案是不一定. ２. 有理数:整数和分数统称为有理数. ３. 有理数的分类 ①按性质分 ì正有理数{正整数正分数 ? ? ? 有理数í零 ? ? ? 负分数 ②按定义分 ì正整数 ? ? ì整数í零 ? ? ? ? 有理数í ?负整数 ? 正分数 ?分数{负分数 ４. 非正/ 非负 通常把正数和 ０ 统称为非负数 负数和 ０ 统称为非正数 正整数和 ０ 称为非负整数( 也叫做自然数) 负整数和 ０ 统称为非正整数. 非正数＝ ０＋负数 非负数＝ ０＋正数 非正整数＝ ０＋负整数 非负整数＝ ０＋正整数 非正有理数＝ ０＋负有理数 非负有理数＝ ０＋正有理数 — １ — 【易错点】 ① ０ 既不是正数 也不是负数 ② －ａ 不一定是负数 ＋ａ 也不一定是正数 ③ 像 π 这样的无限不循环小数不是有理数 ④ π 不是 ３.１４ ５. 数轴 (１) 定义:规定了原点、正方向和单位长度的直线 (２) 数轴有三要素———原点、正方向、单位长度 (３) 数轴上的点与有理数的关系:所有的有理数都可以用数轴上的点表示. 正有理数可以用原点右边的点表示 负有理数可以用原点左边的点表示 零用原点表示. (４) 利用数轴比较有理数的大小:在数轴上表示的两个数 右边的数总比左边的数大. 正数都大于 ０ 负数都小于 ０ 正数大于一切负数. ６. 相反数 (１) 定义:只有符号不同的两个数 ０ 的相反数是 ０. (２) 相反数的关系:若 ａ、ｂ 互为相反数则 ａ＋ｂ ＝０ (３)０ 的相反数是 ０ 相反数是成对存在的. (４) 几何意义:在数轴上 表示互为相反数的两个点( ０ 除外) 位于原点的两侧 并且到原点的距离相等. (５) 相反数的表示:求一个数的相反数只需给它前面加上一个负号. (６) 多重符号的化简:“ 奇负偶正” (７) 基本性质:如果两个数互为相反数 则这两个数相加之和为 ０. ７. 绝对值 (１) 定义:一个数 ａ 的绝对值就是数轴上表示数 ａ 的点与原点的距离 (２) 表示:数 ａ 的绝对值记作“ ａ ” (３) 性质:正数的绝对值是正数 负数的绝对值是它的相反数 ０ 的绝对值是 ０.即 — ２ — ?ìａ ( ａ０) { ａ ( ａ≥０) ａ ? ａ ＝ í －ａ.( ａ≤０) ? ?－ａ. ( ａ０) (４) 绝对值的非负性: ａ ≥０ (５) 两个负数大小的比较:①先分别求出这两个负数的绝对值 ②比较这两个绝对值的大小 ③根据“ 两个负数 绝对值大的反而小” 做出正确的判断. (６) 几何意义:在数轴上 一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值. (７) 常考点: ◆ 绝对值等于它本身的数是 ０ 和正数 ◆ 绝对值等于它的相反数的是 ０ 和负数 ◆ ０ 的绝对值是 ０ ◆ 若一个数的绝对值是它本身 则这个数是正数或 ０ 即:若 ａ ＝ ａ 则 ａ≥０ ◆ 若一个数的绝对值是它的相反数 则这个数是负数或 ０ 即:若 ａ ＝ －ａ 则 ａ≤０ ◆ 绝对值相等的两个数 它们相等或互为相反数 即:若 ａ ＝ ｂ 则ａ ＝ ｂ 或ａ＋ｂ ＝０. ８. 有理数的加法法则 (１) 同号两数相加 取相同的符号 并把绝对值相加 (２) 异号两数相加 绝对值相等时和为 ０ 绝对值不等时 取绝对值较大的数的符号 并 用较大的绝对值减去较小的绝对值 (３) 一个数同 ０ 相加 仍得这个数 (４) 互为相反数的两数相加得 ０ (５) 口诀: 同号两数来相加 绝对值加不变号. 异号相加大减小 大数决定和符号. 互为相反数求和 结果是零须记好. 【注】 “ 大” 减“ 小” 是指绝对值的大小 (６) 步骤:①判断符号 ②确定数值. (７) 运算律:加法交换律:ａ＋ｂ ＝ ｂ＋ａ — ３ — 加法结合律:( ａ＋ｂ) ＋ｃ ＝ ａ＋( ｂ＋ｃ) ９. 有理数减法法则 (１) 减去一个数 等于加上这个数的相反数 (２) 口诀:减正等于加负 减负等于加正. １０. 有理数乘法法则 (１) 两数相乘 同号得正 异号得负 并把绝对值相乘 (２) 任何数与 ０ 相乘 积仍为 ０ (３) 运算律:乘法交换律:ａｂ ＝ ｂａ 乘法结合律:ａｂｃ ＝ ａ( ｂｃ) 乘法分配律:ａ( ｂ＋ｃ)＝ ａｂ＋ａｃ (４) 多个数相乘步骤:因数有 ０ 时 积为 ０.因数无 ０ 时 ①定号:奇负偶正( 奇数个负 号结果为负 偶数个负号结果为正) ②定值:绝对值相乘. １１. 有