2022年全国硕士研究生招生考试数学（一）试题答案及解析.docxVIP

2022 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试题 一、选择题：1～10 小题,每小题 5 分,共 50 分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的． （1）已知  f  ( x)  满足 lim f ( x) ?1 ，则（ ） ln x x?1 （A） f (1) （C） f ?(1) 【答案】（B）. 【解析】  ? ?  0 1  . .  （B） （D）  lim x?1 lim x?1  f f  ( x) ? 0 . ? . ( x) ?1 lim f ( x ) ? lim ? f ( x) ? ln x ? ? 0 ? ? x ?1 x?1 均错. （2）已知 z ? xyf ( xy ) ，且 f (u) （A） f (1) ? 1 , f ?(1) ? 0 . 2 1 （B） f (1) ? 0, f ?(1) ? 2 . （C） f (1) ? 1 , f ?(1) ?1 . 2 【答案】（B）.  ，（B）正确，但 可导， x ??xz ? y  f ( x) 连续性未知，故 f (1) 未知，其他三项 ?z ? y 2 (ln y ? ln x) ，则（ ） ?y ?z ?z ? ? y ? ? y ?? y 【解析】 x ? y ? x ? yf ? ? ? xyf ? ? ?? ? ?x x 2 ?y ? ? x ? ? x ?? ? y ? 2 y ? y ? y y ? ? ? y ln ? ? ? ln ? f (u ) ? x ? x ? x ? 2 x x f (1) ? 0, f ?(1) ? ?? 1 ln u ? 1 ?? u ?1 ? 1 ，选（B）. 22 ?2  ? ? ? ? y ? ? ? ? y ? xf ? ? ? xyf ? ? ? ? x ? 12 u ln u,  ? y ? 1 ? ? ? ? ? x ? x ? （3）设有数列 ?x ?，其中 x 满足 ? π x π ，则（ ） n n n （A）若 lim cos(sin x ) 存在，则 lim x 存在. n?? n n?? n 1 （B）若  lim sin(cos x ) n?? n  存在，则 n??  x n  存在. （C）若  lim cos(sinx n ) n??  存在，则  limsin n??  x n  存在，但 n??  x n  不一定存在. （D）若  lim sin(cos x n ) n??  存在，则  limcos x n n??  存在，但 n??  x n  不一定存在. 【答案】（D）. 【解析】取  xn ? ?  n  π  ，则（A）、（B）、（C）均错， 且（D）的“  lim n??  xn  不一定存在”是 正确的；（D）的“ lim cos xn 存在”的原因：当 n?? 在[0,1] 上单调，故 lim cos xn 存在. n??  π  xn  π  时，  0  cos xn  1  ，而  sin x （4）已知 I1 1 x 1 ln(1? x) ， I 3 ? ? 1 2x ? ? 2(1 ? cos x) dx ， I 2 ? ? 1? cos x dx 1? sin x dx ，则（ ） 0 0 0 （A） I ? I ? I 3 . 1 2 （B） I2 ? I1 ? I3 . （C） I1 ? I3 ? I2 . （D） I3 ? I2 ? I1 . 【答案】（A）. 【解析】令 f (x ) ? x ? ln(1? x) ， f ?( x) ? 1 ? 1 ? x ?1 ，当 0 ? x ?1时， 2(1 ? x) 2 2 1 ? x ?( x) ? 0 ，所以 f ( x) 在[0,1] 上单调递减，当 0 ? x ?1时 f ( x) ? f (0) ? 0 ，所以 x ? ln(1? x) ， x ? ln(1 ? x) ， I1 ? I2 ；又 0 x 1时， 2 2(1 ? cos x ) 1 ? cos x ln(1? x ) x ? x x ? 2x ，故 I 2 ? I3 ，选（A）. 1? cos x 1? cos x 1 1 1 1? sin x ? sin x 2 2 （5） 下列 4 个条件中， 3 阶矩阵 A 可以相似对角化的一个充分但不必要条件为( ) （A） A 有 3 个不相等的特征值. （B） A 有 3 个线性无关的特征向量. （C） A 有 3 个两两线性无关的特征向量. （D） A 的属于不同特征值的特征向量相互正交. 【答案】（A）. 【解析】 2 选项