2022年考研数学二真题解析.docxVIP

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2022-05-18 发布于广东
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2022年考研数学二真题解析.docx

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!!! #$%()*+,-./01 2,345061 !#$%() *%+,*% - .+/ -) .012,%34567#89+:;!7# 8=%?@A50B （1） x ? 0 时，a( x)， b ( x) 是非零无穷小量，给出以下 4 个命题： ①若a ( x ) ! b ( x) ，则a 2 ( x ) ! b 2 ( x); ②若a 2 ( x ) ! b 2 ( x)，则a ( x ) ! b ( x) ; ③若a ( x ) ! b ( x) ，则a ( x ) - b ( x ) = o(a( x)) ; ④若a ( x ) - b ( x ) = o(a( x)) ，则a ( x ) ! b ( x) ; 其中真命题是：（）（A）①③. （B）①④. （C）①③④. （D）②③④. 【答案】（C）. 【解析】 ①若a ( x ) ! b ( x) ，则 lim a( x) =1.因此 lim a 2 ( x ) = lim a ( x ) × a( x) =1 × 1 =1，①正 b ( x) b 2 ( x ) b ( x ) b( x) 确. x?0 x ?0 x?0 ②错，反例a ( x ) = x , b ( x ) = -x ; ③若a ( x ) ! b ( x) ，则 lim a( x) =1，则 lim a ( x ) - b ( x ) = lim a ( x ) - b( x) =1 -1 = 0， ( x ) ( x ) x?0 b ( x) x ?0 a ( x ) x?0 a ( x ) a( x) 因此a - b = o( ( x)) ，③正确. a ④若a ( x ) - b ( x ) = o(a( x)) ，则 lim a ( x ) - b ( x) = 0，则 lim a ( x ) - b( x) = b ( x) b ( x) x?0 a( x) x?0 a ( x ) a( x) 1 - lim = 0 ，则 lim =1，即a ( x ) ! b ( x) ，④正确. x?0 a( x) x?0 a( x) 因此真命题有①③④，选 C. （2） ò02 dy òy2 1+y x3 dx = 2 1 （A）（B） 6 3 2 2 （C）（D） 3 3 【答案】（D） 1 【解析】 2 2 y 2 x y ò0 dy ò y dx = ò0 dx ò0 dy 1 + x 3 1+ x 3 = ò02 x2 dx = ò02 1 d(1 + x3 ) = 1 |02 = 2 . 1 + x3 3 3 1+ x 3 1+ x 3 2 6 （3） f (x) 在 x = x0 处二阶可导，以下说法正确的是（）（A）若在 x = x0 的某个邻域内 f (x) 单调增，则 f ￠(x0 ) 0 （B）若 f ￠(x0 ) 0 ，则在 x = x0 的某个邻域内 f (x) 单调增（C）若在 x = x0 的某个邻域内 f (x) 图像是凹的，则 f ￠￠(x0 ) 0 （D）若 f ￠￠(x0 ) 0，则在 x = x0 某个邻域内 f (x) 图像是凹的【答案】（B）【解析】 f (x) 在 x = x0 处二阶可导，则 f (x) 在 x = x0 处一阶连续可导，若 f ￠(x0 ) 0 ，则在 x = x0 的邻域内 f ￠(x)均大于 0（局部保号性），因此 f (x) 在此邻域内单调增．（4）设函数 f (t ) 连续，令 F ( x, y ) = ò0x - y ( x - y - t ) f (t )dt, 则（）（A） ?F ?F ? 2 F ?2 F = , = ?x ?y ?x 2 ?y2 （B） ?F ?F ? 2 F ?2 F = , = - ?x ?y ?x 2 ?y2 （C） ?F = - ?F , ? 2 F = ?2 F ?x ?y ?x 2 ?y2 （D） ?F = - ?F , ? 2 F = - ?2 F ?x ?y ?x 2 ?y 2 【答案】（C）【解析】 F ( x , y ) = ò0x - y ( x - y - t ) f (t )dt =x ò0x - y f (t )dt - y ò0x - y f (t )dt - ò0x - y tf (t )dt 2 \ ??Fx = ò0x - y f (t )dt + xf ( x - y ) - yf ( x - y ) - ( x - y ) f ( x - y) = ò0x - y f (t )dt \ ??Fy = - x ò0x - y f (t )dt - ò0x - y f (t )dt +yf ( x -