高数答案习题册答案第六版下册同济大学数学系编.docxVIP

第八章 多元函数的微分法及其应用 § 1 多元函数概念 一、设 f (x, y) ? x2 ? y2 ,?(x, y) ? x2 ? y2 , 求: f [?(x, y), y2 ]. 答案：f (? (x, y), y 2 ) ? (x 2 ? y 2 )2 ? y 4 ? x 4 ? 2x 2 y 2 ? 2 y 4 二、求下列函数的定义域： 1、 f (x, y) ? x 2 (1 ? y)  {( x, y) | y 2  x 2  ? 1}; 2、 z ? arcsin 1 ? x 2 y x y 2  {(x, y) | y ? x , x ? 0}; 三、求下列极限： 1、 lim x 2 sin y （0） ( x, y )?(0,0) x 2 ? y 2 y 2、 lim (1 ? )3x ( e 6 ) ( x, y )?(?,2) x 四、证明极限  lim x 2 y  不存在. ( x, y )?(0,0) x 4 ? y 2 证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着 y ? x 2 趋于（0，0）时，极限为 1 , 2 x 2 x 2 ? y 2 五、证明函数 f (x, y) ? ?xy sin ?? ? 1 , (x, y) ? (0,0)  在整个 xoy 面上连续。 ?? 0, (x, y) ? (0,0) 证明：当(x, y) ? (0,0) 时， f ( x, y)为初等函数，连续。当(x, y) ? (0,0) 时， lim ( x, y )?(0,0) xy sin 1 ? 0 ? f (0,0) ，所以函数在（0，0）也连续。所以函数 x 2 ? x 2 ? y 2 六、设 z ? x ? y 2 ? f ( x ? y) 且当 y=0 时 z ? x 2 ，求 f(x)及 z 的表达式. 解：f(x)= x 2 ? x ，z ? x 2 ? 2 y 2 ? 2 xy ? y § 2 偏导数 y 1、设 z= xy ? xex ?z ,验证 x y ?z ? xy ? z 证明： ?z  eyy y e y ? y ? ex ? x  , ?z ?x ?y y ? x ? ex ，? x  ?z ? y ?z  y ? xy ? xy ? xex  ? xy ? z ?x x ?y ?x ?y ??z ? x2 ? y 2 2、求空间曲线? : ? 1 在点（  1 ? 3, ,1）处切线与 y 轴正向夹角( ) 3 ?? y ? 2 2 2 4 x y3、设 f (x, y) ? xy ? ( y ?1)2 arcsin , 求 x y (x,1) ( 1) x z4、设u ? x y , 求 ?u z ?x ， ?u ?y ， ?u ?z ?u z z ?1 ?u z z ?u 1 z 解 ： ?x ? y x y ， ?y ? ? y x y ln x ?z ? y x y x 2 ? y 2 ? z 22? 2 u ? 2 u x 2 ? y 2 ? z 2 2 ln x 5、设u ? ，证明 : ? ? ? ?x 2 ?y 2 ?z 2 u 6、判断下面的函数在(0,0) 处是否连续？是否可导（偏导）？说明理由 ? 1 ?x sin , x2 ? y 2 ? 0 f (x, y) ? ? x2 y 2 ??0, x2 ? y 2 ? 0 1 0 ? 0 lim f (x, y) ? 0 ? f (0,0) 连续； f (0,0) ? lim sin 不存在， f (0,0) ? lim ? 0 x?0 y?0 x?0 x 2 y?0 y ? 0 7、设函数 f(x,y)在点（a,b）处的偏导数存在，求 lim x?0 f (a ? x,b) ? f (a ? x,b) x （2fx(a,b)） 1、单选题  § 3 全微分 二元函数 f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的 必要条件而非充分条件 （B）充分条件而非必要条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件 对于二元函数 f(x,y)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的是 偏导数不连续，则全微分必不存在 （B）偏导数连续，则全微分必存在 （C）全微分存在，则偏导数必连续 （D）全微分存在，而偏导数不一定存在 2、求下列函数的全微分： y y y 1 z ? e x dz ? e x (? dx ? dy) x 2 x z ? sin( xy 2 ) 解： dz ? cos( xy 2 ) ( y 2 dx ? 2 xydy ) yu ? x z y 解： du ? y x