概率论习题答案随机变量的数字特征.docxVIP

第3章 随机变量的数字特征 1，在下列句子中随机地取一单词，以X 表示取到的单词所包含的字母个数，试写出X 的分布律并求E (X ). “They found Peking greatly cha”nged Xpk解：根据题意，有1/5的可能性取到 5 个单词中的任意一个。它们的 X p k 4 5 6 7 1/5 1/5 1/5 2/5 E (X ) 1 (4 5 6 7 7) 29 /5 . 5 2，在上述句子的 29 个字母中随机地取一个字母，以 Y 表示取到的字母所在的单词所包含的字母数，写出Y 的分布律并求E (Y )。 解：５个单词字母数还是４，５，６，７，７。这时，字母数更多的 单词更有可能被取到。分布律为 4 5 6 7 4/29 5/29 6/29 14/29 YpkE (Y ) 1 (4 4 5 5 6 6 7 14) 175 /29 Y p k 29 3，在一批12 台电视机中有 2 台是次品，若在其中随即地取3 台，求取到的电视机中包含的次品数的数学期望。 解：根据古典概率公式，取到的电视机中包含的次品数分别为0，1， 2 台的概率分别为 C 3 6 ， C 1C 2 9 ， C 2C 1 1 。 p 10 0 C 3 11 p 2 10 1 C 3 22 p 2 10 2 C 3 22 12 12 12 所以取到的电视机中包含的次品数的数学期望为 E 6 0 9 1 1 2 1 (台)。 11 22 22 2 4，抛一颗骰子，若得6 点则可抛第二次，此时得分为6+（第二次所抛的点数），否则得分就是第一次所抛的点数，不能再抛。求所得分数的分布律，并求得分的数学期望。 Ypk解：根据题意，有 1/6的概率得分超过 6，而且得分为 7 的概率为两个 1/6的乘积（第一次6 点，第2 次 1 点），其余类似；有5/6的概率 Y p k 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 6 6 6 6 36 36 36 36 36 36 得分的数学期望为 E 1 (1 2 3 4 5) 1 (7 8 9 10 11 12) 49 (点)。 6 36 12 5，（1）已知X ~ ( )， P{X 5} P{X 6} ，求E (X )。 （2）设随机变量X 的分布律为 P{X k} 6 , k 1, 2,3, 4, ， 2 k 2 问X 的数学期望是否存在？ 解：（1）根据 X ~ ( )，可得P{X 5} 5 e 5!  6e P{X 6} ，因此 6! 计算得到? ? 6 ，即X ~ ? (6) 。所以E( X ) =6。 （2）根据题意，按照数学期望的公式可得 E( X ) ? ??? (?1) k ?1 kP{X ? k} ???? (?1) k ?1 k 6 ? 6 ??? (?1) k ?1 1 ? 6 ln 2 ， k ?1 因此期望存在。（利用了  k ?1 ? 2 k 2 ?? xn ? 2 k ?1 k ? 2 ） ln(1 ? x) ?  n?0 (?1)n , ? 1 ? x ? 1 n ? 1 （不符书上答案） 6，（1）某城市一天水的消费量 X（百万升计）是一个随机变量，其 ?xe? x / 3 / 9, x ? 0 概率密度为 f (x) ? ? ，求一天的平均耗水量。 ?0, 其他 （2）设某动物的寿命X（以年计）是一个随机变量，其分布函数为 ??0, F (x) ? ?1 ?  25 , x ? 5 x ? 5 ?? x 2 求这种动物的平均寿命。 解：（1）一天的平均耗水量为 E( X ) ? ???xf (x)dx ? ??? x 2 e? x / 3 ?? ?x 2dx ? ? x 2 d (e? x / 3 ) ? 0 ? ??? 2xe? x / 3 ?? ?dx ? ? ? 2xd (e? x / 3 ) 9 3 3 ?? 0 0 0 0 2? 0 ? ??? e? x / 3 dx ? 6 （百万升）。 2 0 （2）这种动物的平均寿命为 E( X ) ? ???xdF (x) ? ???xd (1 ? 25) ? ??? 50 dx ? 10 （年）。 ?? 5 x 2 x 2 5 7，在美国，致命的汽车事故所占的比例X 的概率密度为 ?42x(1 ? x)5 , 0 ? x ? 1 f (x) ? ? ， 求X 的数学期望。 ? 0, 其他 ?解： E( X ) ? ???xf (x)dx ? ?1 42x 2 (1 ? x)5 dx ? ?1 ? 7x 2 d ? ?? 0 0 (1 ? x)6 ? ? ?1 1 ? ? 1 ? ? 1