有限差分法基础（课堂PPT）.pptVIP

2021/3/29 2021/3/29 差分方程 该有限差分格式是否在Δt→0时收敛？它是否和解析解得性质一样？ 考虑初始条件 得到 因此，对于第j个时刻 设t是到j时刻的总时间， 则： 对上式利用二项式展开 其中： 我们希望知道当dt→0时差分格式的结果，这时相当于j→∞ 2021/3/29 因此： 代入差分格式： 上式就是解析解 的Taylor展开。 结论：对于牛顿冷却问题，当时间步长Δt趋于零时，差分格式给出的 数值解收敛于解析给出的严格解。 解析解是单调减小函数，数值解的性质怎样？保证数值解单调减小（Tj+1Tj）需要什么条件？ 得到 2021/3/29 保证Tj+1Tj的条件是： 因此，数值解只对一定取值范围的dt是单调减小的。 如果 数值解振荡，但是结果会收敛 如果 数值解振荡并且发散。 因此，数值结果是有条件稳定的。 2021/3/29 差分方程 for i=1:nt+1 xt(i)=(i-1)*dt; T1(i)=t0*exp(-xt(i)/tau); end plot(xt,T1,r.-);hold on set(gca,DataAspectRatio,[(max(xt)-min(xt))/(max(T)-min(T))/3 1 1]); xlabel(Time (s),Fontname,times new roman,FontSize,14); ylabel(Temperature,Fontname,times new roman,FontSize,14); %Malab-1D clear; clc; figure(color,w); nt=8; % total time steps t0=1; % initial temperature tau=0.7; % time constant dt=1.25; % time interval T(1)=t0; for i=1:nt; xt(i)=(i-1)*dt; T(i+1)=T(i)-dt/tau*T(i); end xt(nt+1)=nt*dt; plot(xt,T,b.-);hold on 解析解 差分解 2021/3/29 结果振荡但是收敛， 前期结果不准确 结果收敛， 前期结果不准确 2021/3/29 结果收敛， 误差逐渐缩小 结果收敛， 结果基本吻合解析解 2021/3/29 结果振荡，不收敛，计算结果错误 2021/3/29 差分格式的性质分析 2021/3/29 2021/3/29 2021/3/29 差分格式的性质分析 2021/3/29 差分格式的性质分析 稳定性（stability）：如果偏微分方程的严格解析解有界，差分格式给出的解也有界，称该差分格式是稳定的；如果差分格式给出的解是无界的，则称该差分格式是不稳定的。 如果差分格式给出的解对于所有的时间步长和空间步长取值都是有界的，则称该差分格式是无条件稳定的；如果只是对时间步长和空间步长的部分取值有界，称它是有条件稳定的；如果对于所有的时间步长和空间步长取值都是无界的，则称差分格式是无条件非稳定的。 稳定性反映了差分格式在计算中控制误差传递的能力，对偏微分方程有限差分方法研究具有 重要意义。 例子：对流方程（双曲型）的初值问题 2021/3/29 第二章 有限差分法 主讲人：胡才博 中国科学院大学地球科学学院 中国科学院计算地球动力学重点实验室 2021/3/29 第二章 有限差分法 2.1 有限差分法基础 2.2 网格剖分 2.3 差分格式 2.4 差分方程 2.5 应用实例 2021/3/29 1. 地球内部介质，不仅存在纵向非均匀结构（一维地球模型）， 也存在横向非均匀结构（不同块体、断层系统）； 2. 几何模型也呈现出相当的复杂性； 3. 另外，边界条件和初始条件对于不同问题具有特殊性。 解析方法的局限性 Hu, C., Y. Cai, and Z. Wang (2012), Effects of large historical earthquakes, viscous relaxation, and tectonic loading on the 2008 Wenchuan earthquake, Journal of Geophysical Research, 117, B06410, doi:10.1029/2011JB009046. (SCI, IF: 3.303) 汶川大地震的动力学成因 2021/3/29 对于存在复杂介质和几何、特殊边界条件和初始条件的实际地质问题， 一般不存在解析解，需要近似的数值求解方法。 有限差分方法是地球物理方法中最常见的