第10讲 数列填空压轴题（解析版）.docxVIP

第10讲 数列填空压轴题 1．（百校联盟联考）已知首项为的数列的前项和为，若，且数列，，…，成各项均不相等的等差数列，则的最大值为__________． 【答案】 【分析】由已知结合得，设前项等差数列的公差为，分析得，分析得，两式结合可得，求出，验证符合题意，验证不符合题意，利用反证法证得不符合题意，即可得解． 【解析】且，（*）； ∵前项成各项均不相等的等差数列，设公差为，则，， 若，则，，在（*）式中，令得，， 即，化简得①； 若，则，在（*）式中，令得，， 即，化简得②； ②①得，，，， 将代入①得，，∴，则，∴符合题意． 若，则，，，，，，，，在（*）式中，令得，，，∴，∴不符合题意． 假设时符合题意，则， 整理得，即 即，又时， ∴与等差数列矛盾，∴不符合题意．故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的知识，解题的关键是利用 将已知条件转换为，再分别分析，，时是否符合题意，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题． 2．（湖北宜昌高三期末（文））艾萨克·牛顿（1643-1727），英国皇家学会会长，英国著名物理学家，在数学上也有许多杰出贡献．牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时给出了一个数列：，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数有两个零点1和3，数列为牛顿数列，，且，，则数列的通项公式为__________． 【答案】 【分析】根据函数有两个零点1和3可将写成零点式，再利用求得关于的地推公式，进而根据求得的通项公式即可． 【解析】函数有两个零点1和3可得．故．由题意得． 故，故． 故数列是以为首项， 公比为2的等比数列．故．【点睛】本题主要考查了新定义的问题方法，需要根据题意找到对应的数列的递推关系，从而推导出为等比数列．属于难题． 3．（河北石家庄正定中学高三月考）若数列满足，且对任意都有，则的最小值为________． 【答案】8 【分析】根据题意，分析数列的前5项，结合递推公式分析可得在在中，最大为，设，分析可得，且，将其变形可得，可以得到数列是首项为﹣2，公比为的等比数列，结合等比数列的通项公式求出数列通项公式，则有，据此分析恒成立可得答案． 【解析】根据题意，数列满足， 当时，有，则，， 分析可得：在中，最大为， 设，则有，且，变形可得：，∴数列是首项为6﹣8＝﹣2，公比为的等比数列，则，则，即，又为递增数列，且，∴若对任意任意都有成立，则，即的最小值为8，故答案为8． 【点睛】本题考查数列的递推公式，注意查找规律，分析局部数列的性质是解题的关键，属于难题． 4．（超级全能生1月联考（文））各项均为正数的等比数列，满足，且，，成等差数列，数列满足，数列的前项和，则______． 【答案】 【分析】 根据条件可得，得，进而得设，由和与项的关系可得，再由累加计算，利用错位相减即可得解． 【解析】各项均为正数的等比数列，设公比为， 由，可得，即，得，，，成等差数列，∴，即，得，∴． 设，则．时，满足． ∴，∴，∴，，，…， ， 累加得：． 记，则，两式作差得： ， ∴，即，∵，∴，∴． 【点睛】思路点睛：由等比数列的基本量运算可得，由前n项和，由可得通项公式（注意验首项），由利用累加法求通项，利用错位相减求，本题的所涉及的求通项的方法较多，考查了学生的计算能力． 5．（辽宁大连高三期末）已知数列通项公式，若数列是递减数列，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】首先构造函数，对函数求导，对的范围进行讨论，转化为比较数列两项之间的大小，从而求得结果． 【解析】构造函数， 则， 由，得，当时，只需， 即，得，即， 当时，只需，即，即， 综上，实数的取值范围为，故答案为：． 【点睛】关键点点睛：该题考场的是有关数列与导数的综合题，在解题的过程中，根据数列单调减，构造函数，研究函数的单调性，正确解题的关键是需要明确利用函数研究数列的性质的时候，注意函数定义域为正整数集，再者就是不需要其在上单调减，还有需要考虑特定项的大小比较． 6．（浙江温州高三期末）已知正数数列满足，且对任意，都有，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】由已知可得出，解得，结合，可得，令，求出数列的最大项的值，可得出的取值范围，进而可得出的取值范围． 【解析】由题意可知，对任意，都有，则，则， 整理可得，， 解不等式可得， 当时，，∴， 令， 则数列为单调递减数列，∴，， ∴． 下面来说明，当时，对任意的，． 由双勾函数的单调性可知，函数在上为减函数，在上为增函数， ，则，可得，由双勾函数的单调性可知，函数在上为增函数，则，可得， 假设当时，，由于函数在上为增函数，则，可得． 由上可知，当时，对任意的，． 综上所述，的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：本题考查利用数列不等式恒成立求数列首项的取值范围