《热学习题思考题解题指导》第二章第3节.doc

PAGE 66 第二章 分子动理论的平衡态理论 PAGE 67 § 2.3 补充习题及其解答 62 § 2.3 补充习题及其解答 §2.3 补充习题及其解答 2. B. 1 温度为 的 2 维理想气体由 个质量为 的单原子分子组成。它们只能在 XY 平面上面积为 的范围内运动（周围有刚性壁约束），这时的压强是单位长度上受到的力。试问：（1）其2维理想气体的麦克斯韦速率分布是怎样的? （2）给出物态方程表达式；（3）给出该气体摩尔定体热容和摩尔定压热容表达式；（4）给出单位时间内碰撞到单位长度刚性壁上的分子数的表达式。 〖解〗：（1）2. 4. 1 题中已经对2 维理想气体在速空间中代表点的数密度分析得比较清楚。显然2. 4. 1 题中的（3）式就是只能在 XY 平面上运动的 2 维理想气体的麦克斯韦速度分布公式 而2. 4. 1 题中的（7）式 就是2 维理想气体的麦克斯韦速率分布公式。 （2）我们知道，3 维理想气体的物态方程为 。在2 维理想气体中的压强应该是作用在单位长度上的力，因而和 相对应的应该是面积，因为只有这样才能使得 具有能量的量纲，可以和 的量纲相一致。所以2 维理想气体的物态方程为 （3）按照能量均分定理，理想气体每一个分子的每一个自由度均分到 的动能，2 维单原子分子只有 2个平动自由度，所以 2 维理想气体的每一个分子的平均动能为 。对于 气体，它的内能（也就是动能）为 其摩尔定体热容为 其摩尔定压热容为 （4）要求出单位时间内碰撞到单位长度刚性壁上的分子数 ，可以设想每一个分子只能沿 四个方向运动，其运动速率都是 。则在 时间内碰撞在 器壁上的分子数应该等于在以 为底、以 为高的矩形的面积中的，所有向 运动的分子数 。时间内只有 的分子向 运动，这些分子的数密度 ，所以这个矩形中向 运动的分子数为 则 下面来求 。前面已经指出，2 维单原子分子理想气体的每一个分子的平均动能为 ，所以 其中 为分子的质量。现在作 的近似，则 所以 2．B. 2 标准状况下的空气（设气体分子质量为 ）以 速度流过一横截面积为 （ 处处相等）的光滑导管。导管中有一个对气流的阻力可忽略的金属丝网, 它被输出功率为 的电源加热, 因而气流变热。达稳定状态后空气在导管末端流出时的速度为 ，如图所示。试求流出气体的温度 以及空气受到的推力 。 〖分析〗：气体在流过导管时受到加热而温度上升，这是容易理解的。但是空气还受到推力 ，这比较难理解。其原因如下： 在忽略气流流过导管时的阻力的情况下，导管内气体的压强应该处处相的，即 处处相等。这说明在温度高处其分子数密度反而小。另外，达到稳定状态时在每一个横截面积上在 时间内所通过的气体分子数 也应该相等，它等于以 为底 为高的矩形中的气体分子数，其中 为气体分子的流动速度。也就是说 。由于在温度高处其分子数密度 反而小，这说明温度高处其气体流动速度要相对大些。即导管出口处气体的流速大于入口处的流速。又因为单位时间内流进流出导管的气体分子数（即气体的质量）是相等的，因而出口处气体的总动量大于入口处气体的总动量。气体通过导管时其总动量增加了。这说明气体受到一个推力 。可见 是由于气体受到加热而产生的。 〖解〗： 气体在导管内流动达到稳态时必须满足如下条件： （1）设流进气体的分子数密度和流动速度分别为 ；流出气体的分子数密度和流动速度分别为 。在 时间内流进的气体分子数应该等于流出的气体分子数，所以 （2）考虑到每个流动分子既有整体运动的动能，又有热运动的平均动能，而后者可以利用能量均分定理得到。空气分子有5个自由度，所以流进的每个气体分子的平均能量为 ，流出的每个气体分子的平均能量为 。按照能量守恒原理有 （3）按照动量定理， 由上面3个式子可以解得流出气体的温度为 气体受到的推力为 2. B. 3 下面设想一个绝热压缩一维单原子理想气体的微观模型。 在一个长方形的气缸内有大量相同的刚性小球作一维运动, 其运动方向始终垂直于气缸的活塞。小球