专题12 勾股定理在等腰三角形存在性问题中的应用.docxVIP

专题12 勾股定理在等腰三角形存在性问题中的应用.docx

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PAGE 1 PAGE 1 专题12 勾股定理在等腰三角形存在性问题中的应用 一、做题点睛 1. 含特殊角的三角形的小结论 遇到动点问题中关于等腰三角形、直角三角形存在性问题时,通常要借助圆规作图,然后利用勾股定理等相关知识求解. 二、动点问题中等腰三角形存在性问题 题1. 如图1-1,在一张长为8,宽为6的矩形纸片上,现要剪下一个腰长为5的等腰三角形(要求:等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合,其余的两个顶点在矩形的边上).求剪下的等腰三角形的面积. 图1-1 【解析】借助圆规画出图形, 图1-2 作图方法:①以矩形四个顶点其中一个为圆心(选取A),以5为半径画弧,分别交AD、AB于点E、F;②分别以E、F为圆心,以5为半径画弧,分别交CD、BC于点G、H,如图1-2所示. 再连接EF,得到等腰三角形AEF;连接EG得到等腰三角形AEG;连接FH,得到等腰三角形AFH. 图1-3 图1-4 图1-5 (1)等腰三角形AEF,如图1-3. 因为四边形ABCD是矩形,所以∠BAD=90°,此时三角形AEF是等腰直角三角形 (2)等腰三角形AEG,如图1-4. DE=AD-AE=3, AE=EG=5. 在Rt△DEG中,由勾股定理得:. . (3)等腰三角形AFH,如图1-5. BF=AB-AF=1, AF=FH=5. 在Rt△BFH中,由勾股定理得:. . 综上所述,剪下等腰三角形的面积是或10或. 题2. 如图2-1,△ABC中,∠ACB□?□90°,AB□?□5cm,BC□?□3cm,若点P从点A出发, 以每秒2cm的速度沿折线A—C—B向点B运动,设运动时间为t秒(t>0), (1)在AC上是否存在点P,使得PA□?□PB?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由; (2)若点P恰好在△ABC的角平分线上,请求出t的值,说明理由. AB A B C A B C 图2-1 图2-1 备用图 【解答】(1)在Rt△ABC中,,∴ 如图1,假设存在点P使得PA=PB,则PA=PB=2t,PC=4-2t, 在Rt△BPC中, 解得 当点P在点C或点B处时,一定在△ABC的角平分线上,此时t=2或t=3.5秒; 如图2,点P在边AC上时,即点P在∠ABC的平分线上时,点P到AB的距离等于4-2t, 解得 如图3,点P在边BC上时,即点P在∠BAC的平分线上时,点P到AB的距离等于2t-4, 解得 综上,t=2或t=3.5或或. 题3.如图3-1,Rt△ABC中,AC⊥CB,AC=3,AB=5,点D为斜边上的动点. (1)如图3-2,过点D作DE⊥AB交CB于点E,连接AE,当AE平分∠CAB时,求CE; (2)如图3-3,在点D的运动过程中,连接CD,若△ACD为等腰三角形,求AD. 图3-1 图3-2 图3-3 【答案】见解析. 【解析】:(1)因为AC⊥CB,AC=3,AB=5 在Rt△ABC中,根据勾股定理得:BC=4. ∵AE平分∠CAB,DE⊥AB,AC⊥CB, ∴DE=CE. 在Rt△AED和Rt△ACE中, ∵DE=CE,AE=AE, ∴Rt△AED≌Rt△ACE. ∴AD=AC=3. ∴BD=AB-AD=2. 设CE=DE=x,则BE=4-x 在Rt△BDE中,由勾股定理得: . 解得:x=1.5. 即CE=1.5. (2)分类讨论 图3-4 图3-5 图3-6 ①AC为底时,如图3-4所示. 此时AD=CD ∴∠A=∠DCA ∵∠A+∠B=90°,∠DCA+∠BCD=90° ∴∠B=∠BCD ∴BD=CD 即AD=BD=2.5. ②AC为腰时,如图3-5、图3-6所示. 图3-5中,AC=CD,过点C作CE⊥AB于点E. 易知AD=2AE. . 在Rt△ACE中,由勾股定理得: . 所以AD=2AE=3.6. 图3-6中,AC=AD=3 综上所述,AD的长为2.5,3.6,3. 题4.如图4-1,矩形ABCD,AD长为8cm,AB长为6cm,现一动点P从A出发,沿AB、BC、CA运动,运动速度2cm/s. 设运动时间为t(s),当△PCD为等腰三角形时,求t值. 图4-1 图4-2 【解析】因为AD=8,AB=6,根据勾股定理得AC=10 (1)CD为底时,作出CD的对称轴,与AB、AC分别交于点P1

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