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专题12 勾股定理在等腰三角形存在性问题中的应用
一、做题点睛
1. 含特殊角的三角形的小结论
遇到动点问题中关于等腰三角形、直角三角形存在性问题时,通常要借助圆规作图,然后利用勾股定理等相关知识求解.
二、动点问题中等腰三角形存在性问题
题1. 如图1-1,在一张长为8,宽为6的矩形纸片上,现要剪下一个腰长为5的等腰三角形(要求:等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合,其余的两个顶点在矩形的边上).求剪下的等腰三角形的面积.
图1-1
【解析】借助圆规画出图形,
图1-2
作图方法:①以矩形四个顶点其中一个为圆心(选取A),以5为半径画弧,分别交AD、AB于点E、F;②分别以E、F为圆心,以5为半径画弧,分别交CD、BC于点G、H,如图1-2所示.
再连接EF,得到等腰三角形AEF;连接EG得到等腰三角形AEG;连接FH,得到等腰三角形AFH.
图1-3 图1-4 图1-5
(1)等腰三角形AEF,如图1-3.
因为四边形ABCD是矩形,所以∠BAD=90°,此时三角形AEF是等腰直角三角形
(2)等腰三角形AEG,如图1-4.
DE=AD-AE=3, AE=EG=5.
在Rt△DEG中,由勾股定理得:.
.
(3)等腰三角形AFH,如图1-5.
BF=AB-AF=1, AF=FH=5.
在Rt△BFH中,由勾股定理得:.
.
综上所述,剪下等腰三角形的面积是或10或.
题2. 如图2-1,△ABC中,∠ACB□?□90°,AB□?□5cm,BC□?□3cm,若点P从点A出发,
以每秒2cm的速度沿折线A—C—B向点B运动,设运动时间为t秒(t>0),
(1)在AC上是否存在点P,使得PA□?□PB?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由;
(2)若点P恰好在△ABC的角平分线上,请求出t的值,说明理由.
AB
A
B
C
A
B
C
图2-1
图2-1
备用图
【解答】(1)在Rt△ABC中,,∴
如图1,假设存在点P使得PA=PB,则PA=PB=2t,PC=4-2t,
在Rt△BPC中, 解得
当点P在点C或点B处时,一定在△ABC的角平分线上,此时t=2或t=3.5秒;
如图2,点P在边AC上时,即点P在∠ABC的平分线上时,点P到AB的距离等于4-2t,
解得
如图3,点P在边BC上时,即点P在∠BAC的平分线上时,点P到AB的距离等于2t-4,
解得
综上,t=2或t=3.5或或.
题3.如图3-1,Rt△ABC中,AC⊥CB,AC=3,AB=5,点D为斜边上的动点.
(1)如图3-2,过点D作DE⊥AB交CB于点E,连接AE,当AE平分∠CAB时,求CE;
(2)如图3-3,在点D的运动过程中,连接CD,若△ACD为等腰三角形,求AD.
图3-1 图3-2 图3-3
【答案】见解析.
【解析】:(1)因为AC⊥CB,AC=3,AB=5
在Rt△ABC中,根据勾股定理得:BC=4.
∵AE平分∠CAB,DE⊥AB,AC⊥CB,
∴DE=CE.
在Rt△AED和Rt△ACE中,
∵DE=CE,AE=AE,
∴Rt△AED≌Rt△ACE.
∴AD=AC=3.
∴BD=AB-AD=2.
设CE=DE=x,则BE=4-x
在Rt△BDE中,由勾股定理得:
.
解得:x=1.5.
即CE=1.5.
(2)分类讨论
图3-4 图3-5 图3-6
①AC为底时,如图3-4所示.
此时AD=CD
∴∠A=∠DCA
∵∠A+∠B=90°,∠DCA+∠BCD=90°
∴∠B=∠BCD
∴BD=CD
即AD=BD=2.5.
②AC为腰时,如图3-5、图3-6所示.
图3-5中,AC=CD,过点C作CE⊥AB于点E.
易知AD=2AE.
.
在Rt△ACE中,由勾股定理得:
.
所以AD=2AE=3.6.
图3-6中,AC=AD=3
综上所述,AD的长为2.5,3.6,3.
题4.如图4-1,矩形ABCD,AD长为8cm,AB长为6cm,现一动点P从A出发,沿AB、BC、CA运动,运动速度2cm/s. 设运动时间为t(s),当△PCD为等腰三角形时,求t值.
图4-1 图4-2
【解析】因为AD=8,AB=6,根据勾股定理得AC=10
(1)CD为底时,作出CD的对称轴,与AB、AC分别交于点P1
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