专题7 勾股定理逆定理的五种应用.docxVIP

PAGE PAGE 1 专题7 勾股定理逆定理的五种应用 类型一 用于判断三角形的形状 【例1】△ABC中，BC=a=2n+l，AC=b=2n2+2n，AB=c=2n2+2n+l，试说明：△ABC是直角三角形. 证明：由已知得：∵BC=a=2n+l，AC=b=2n2+2n，AB=c=2n2+2n+l， ∴c＞a，c＞b，即c是最长边， a2+b2=(2n+1)2+(2n2+2n)2=4n4+8n3+8n2+4n+1，c2=(2n2+2n+l)2=4n4+8n3+8n2+4n+1， ∴a2+b2=c2，即AC2+BC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形. 【变式1】 已知△ABC的三边长a、b、c满足a2c2－b2c2＝a4－b4，判断△ABC形状． 已知△ABC的三边长a、b、c满足a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c， 试判断△ABC的形状． 类型二 用于求角度 【例2】已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA=3，PB=4，PC=5. 求：∠APB的度数. 解答：把△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△BCQ，连接PQ， ∵∠PBQ=60°，BP=BQ， ∴△BPQ是等边三角形， ∴PQ=PB=4， 而PC=5，CQ=4，在△PQC中,PQ2+QC2=PC2， ∴△PQC是直角三角形， ∴∠BQC=60°+90°=150°， ∴∠APB=150°. 【变式1】如图，是正方形内一点，连接、、，将绕点 顺时针旋转到的位置.若，，=6.则 °. 解答：由旋转可得PB=P’B=4，P’C=2，∠ABP=∠CBP’. ∴∠P’BP=∠PBC+∠CBP’=∠PBC+∠ABP=90° ∴△BP’P是等腰直角三角形， ∴∠PP’B=45°， ∴PP’=PB=4, 又∵，=6 得PP’ 2+P’C 2=PC 2， ∴△PP’C是直角三角形， ∴45°+90°=135°. 类型三 用于求边长 【例3】如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，求CD的长。 【解答】∵AB=13，AD=12，BD=5， ∴AB2=AD2+BD2， ∴△ADB是直角三角形,∠ADB=90°， ∴△ADC是直角三角形， 在Rt△ADC中,CD==9. 【变式1】如图，在△ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6，求BC的长. 【分析】注意到5，12，13恰为一组勾股数，因此加倍延长中线AD到E，连接CE，将AB，AC，2AD集中到同一△ACE中，构成直角三角形，运用勾股定理求BC的长. 【解答】延长AD到E，使DE=AD，连接CE. AB A B C D E 又AD=ED， ∠ADB=∠EDC， ∴△ADB≌△EDC(SAS)， ∴CE=BA=5. 又AC=13，AE=2AD=12， ∴，即， ∴△AEC是直角三角形且∠E=. 在Rt△DEC中，， ∴CD=BC=2CD=2 ∴BC边的长为2. 类型四 用于求面积 【例4】如图，在四边形ABCD中，AB＝3 cm，AD＝4 cm，BC＝13 cm，CD＝12 cm，∠A＝90°，求四边形ABCD的面积． 提示：把不规则四边形ABCD的面积转化为两个三角形的面积和． 点评：计算不规则图形的面积时，通常把不规则图形分割成几个规则的图形，如直角三角形，在解题过程中，发现某个三角形的三边长为常见的勾股数时，要能迅速地判断出这是一个直角三角形． 类型五 用于证明垂直 【例5】如图,已知在正方形ABCD中,AE=EB,AF=AD，求证：CE⊥EF. 证明：连接CF，设正方形的边长为4， ∵四边形ABCD为正方形，∴设AB=BC=CD=DA=4， ∵点E为AB中点,AF=AD，∴AE=BE=2，AF=1，DF=3， 由勾股定理得：EF2=12+22=5,EC2=22+42=20,FC2=42+32=25. ∵EF2+EC2=FC2，∴△CFE是直角三角形， ∴∠FEC=90°，即EF⊥CE.