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[研究生入学考试题库]考研数学三模拟475 一、选择题问题:1. 设随机变量Xi～B(1，pi)，(i=1，2)，它们的分布为Fi(x)．已知有一点x=x0处F1(x0)＜F2(x0)，则______A.p1＜p2．B.p1＞p2．C.p1=p2．D.p1+p2=1．答案:B[解析] Xi的分布 分布函数为 现有F1(x0)＜F2(x0)则x0必满足0≤x0＜1．  F1(x0)＜F2(x0)，即1-p1＜1-p2，故p1＞p2． 问题:2. 已知函数z=f(x，y)在点(1，2)处可微，且f(1，2)=1，fx(1，2)=2，fy(1，2)=3．设函数φ(x)=f(x，2f(x，2x))，则φ(1)等于______A.25．B.50．C.75．D.100．答案:B[解析] 引入函数ψ(x)=f(x，2x)，则φ(x)=f(x，2ψ(x))．从而φ(x)=f1(x，2ψ(x))+2ψ(x)f2(x，2ψ(x))，令x=1即得 φ(1)=f1(1，2ψ(1))+2ψ(1)Z(1，2ψ(1))． (*)  可见为了求得φ(1)只需算出ψ(1)与ψ(1)的值并代入上式．由ψ(x)的定义可得ψ(1)=f(1，2)=1．又因  ψ(x)=f1(x，2x)+2f2(x，2x)，  在上式中令x=1可得ψ(1)=f1(1，2)+2f2(1，2)=fx(1，2)+2fy(1，2)=2+2×3=8．把以上结果代入(*)式就有  φ(1)=f1(1，2)+2×8×f2(1，2)  =fx(1，2)+16fy(1，2)  =2+16×3=50．  故应选(B)．  [评注] 本题是多元复合函数求导数的问题．在利用复合函数求导的链锁法则时必须选用适当的记号，这里我们用记号f1表示二元函数。厂对其第一个变量的偏导数，用记号f2，表示二元函数f对其第二个变量的偏导数，这样就不必再用字母表示中间变量了，书写比较筒便且不会产生混淆．  注意在本题的求解过程中不可采用记号fx(x，2f(x，2x))，原因在于它的含意不清楚，这究竟是表示一元函数φ(x)=f(x，2f(x，2x))对z的导数，还是表示二元函数f(x，y)对x求偏导数后再把Y换为2f(x，2x)所得的函数呢?从这个记号本身无法区分开来． 问题:3. 交换二次积分次序正确的是______ A．  B．  C．  D． 答案:A[解析] 交换积分次序的步骤是： ①由原累次积分的上、下限写出来表示为积分区域D的联立不等式，并作出D的草图，原积分变成二重积分  ②按新的累次积分次序的要求写出新的累次积分表达式．  由已知积分的上、下限，可知积分区域的不等式表示为：  见下图，则   问题:4. 设X1，X2，…，Xn为来自总体N(0，σ2)的样本，则样本二阶原点矩的方差为______。 A．σ2  B．  C．  D． 答案:C[考点] 统计量的方差 [解析] X1，X2，…，Xn来自总体N(0，σ2)，  所以，  ，C是答案。 问题:5. 若，则______．A.k=2，a=-2B.k=-2，a=-2C.k=2，a=2D.k=-2，a=2答案:A[解析] 当x→0时，  故k=2，a=-2，选A． 问题:6. 设随机变量X和Y相互独立且都服从标准正态分布N(0，1)，考虑下列命题： ①X2+Y2服从χ2分布；  ②X/服从t分布；  ③X2/Y2服从F分布；  ④X-Y服从正态分布，  其中正确的个数为______ A.1．B.2．C.3．D.4．答案:D[解析] 本题考查统计量的分布问题——见到确定统计量分布问题，就要想到考查它的构成——想χ2分布、t分布以及F分布定义的典型模式． 解 由题设条件与χ2分布、t分布、F分布的定义和性质可知   又由正态分布的性质知，X-Y～N(0，2)，故四个命题都正确．  注 题中的X和Y相互独立的条件不可缺少． 问题:7. 设，则级数______ A．均收敛． B．均发散． C．发散． D．收敛．答案:C[解析] 是交错级数．由单调减少，且，故收敛． ，而发散，故发散，所以C正确．问题:8. 已知随机变量X，Y，Z相互独立，且 X～N(μ，σ2)，Y～N(-μ，)，Z～N(0，)，P(X＜