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[研究生入学考试题库]考研数学三模拟490 一、选择题问题:1. 设f(x)在x0处二阶可导，且f(x0)＜0，f(x0)＜0，Δx＞0，记Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，dy=f(x0)Δx，则______A.Δy＜dy＜0．B.Δy＞dy＞0．C.dy＞Δy＞0．D.dy＜Δy＜0．答案:A[解析] 由泰勒公式有，即，故Δy-dy＜0，且dy=f(x0)Δx＜0，所以A正确．问题:2. 设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则______A.当m＞n时，必有|AB|=0．B.当m＞n时，AB必可逆．C.当n＞m时，ABx=0必有唯一零解．D.当n＞m时，必有r(AB)＜m．答案:A[解析] 法一 r(AB)≤r(A)≤n＜m，AB是m×m矩阵，故必有|AB|=0． 故应选A．其余的均错误，读者自行证明．  法二 当m＞n时，方程组Bn×mx=0有非零解，即存在x≠0，使Bx=0成立，两边左乘A，得ABx=0，其中x≠0，则|AB|=0，故应选A． 问题:3. 设f(x)=2x+3x-2，则当x→0时，______A.f(x)是x的等价无穷小．B.f(x)与x是同阶但非等价无穷小．C.f(x)是比x较低阶的无穷小．D.f(x)是比x较高阶的无穷小．答案:B问题:4. 设A是n阶实对称矩阵，满足A3+4A2+5A+2E=0，则对任意的n维非零向量X≠0有______ A．XTAX＞0．  B．XTAX＜0．  C．XTAX≥0．  D．存在．答案:B[解析] n阶实对称阵A满足A3+4A2+5A+2E=0，则A的特征值λ满足 λ3+4λ2+5λ+2=(λ+1)2(λ+2)=0，  故A的特征值为-1，-2．f(x1，x2，x3)=XTAX的标准形为  ， 其中λi=-1或-2，i=1，2，…，n．  故对任意X≠0，有f(x1，x2，…，xn)=XTAX＜0． 问题:5. 设f(x)连续可导，g(x)连续，且，又，则______．A.x=0为f(x)的极大点B.x=0为f(x)的极小点C.(0，0)为y=f(x)的拐点D.x=0既不是f(x)极值点，(0，0)也不是y=f(x)的拐点答案:C[解析] 由得，f(x)=-4x+g(x)， 因为  所以存在δ＞0，当0＜|x|＜δ时，，  即当x∈(-δ，0)时，f(x)＞0；当x∈(0，δ)时，f(x)＜0，故(0，0)为y=f(x)的拐点，应选C． 问题:6. 设n阶矩阵A=[α1，α2，…，αn]，B=[αn，α1，…αn-1]，若行列式|A|=1，则|A-B|=______A.0．B.2．C.1+(-1)n+1．D.1+(-1)n．答案:A[解析] 由A-B=[α1-αn，α2-α1，…，αn-αn-1]将|A+B|的各列加到第一列得|A+B|=|0，α2-α1，…，αn-αn-1|=0 [评注] 本题说明向量组α1-αn，α2-α1，…，αn-αn-1总是线性相关的，[α1-αn，α2-α1，…，αn-αn-1]x=0总有非零解，你知道非零是“谁”? 问题:7. 设A，B是满足AB=O的任意两个非零阵，则必有______．A.A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关B.A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关C.A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关D.A的行向量组线性相关，B的列向最组线性相关答案:A[解析] 设A，B分别为m×n及n×s矩阵，因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤n，因为A，B为非零矩阵，所以r(A)≥1，r(B)≥1，从而r(A)＜n，r(B)＜n，故A的列向量组线性相关，B的行向最组线性相关，选A．问题:8. 设A是m×n阶矩阵，则下列命题正确的是______。A.若m＜n，则方程组AX=b一定有无穷多个解B.若m＞n，则方程组AX=b一定有唯一解C.若r(A)=n，则方程组AX=b一定有唯一解D.若r(A)=m，则方程组AX=b一定有解答案:D[考点] 非齐次线性方程组的解的判定 [解析] 因为若r(A)=m(即A为行满秩矩阵)，则，于是，即方程组AX=b一定有解，选D。二、填空题问题:1. 微分方程(y+x3)dx-2xdy=0满足的特解为______．答案:[解析] 方法一：原方程变形为，先求齐次方程的通解，即  积分得，即 设为非齐次方程的通解，代入方程得  从而 积分得 于是非齐次方程的通解为   由于，因此C