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[研究生入学考试题库]考研数学三分类模拟182 一、选择题问题:1. 设则f{f[f(x)]}等于______ A．0  B．1  C． D． 答案:B[解析] 由题设 而由 可知|f(x)|≤1，因此f{f[f(x)]}=1，故选B。 问题:2. 设且a≠0，则当n充分大时有______ A． B． C． D． 答案:A[解析] 因为所以对任意的ε＞0，当n充分大时，有|an-a|＜ε。 取有因此有故当a＞0时，当a＜0时，均有故选A。 数列极限的保号性：如果则存在N＞0，当n＞N时，有xn＞0。该定理可以推广为：如果则存在N＞0，当n＞N时，有xn＞a；还可以进一步推广为：如果则存在N＞0，当n＞N时，有xn＞yn。问题:3. 设{xn}是数列，下列命题中不正确的是______ A． B． C． D． 答案:D[解析] 如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a。 对于A选项，即数列{xn}收敛于a，而{x2n}，{x2n+1}都是{xn}的子列，所以有A选项正确。 C选项与A选项同理，所以C选项正确。  对于B选项，{x2n}，{x2n+1}的极限都等于a，且{x2n}，{x2n+1}分别是下标为偶数和奇数的子列，故所以B选项正确。 对于D选项，但{x3n}，{x3n+1}的并集没有包含{xn}的所有项，所以不能推出故选D。问题:4. 设f(x)在(-∞，+∞)内有定义，且则______A.x=0必是g(x)的第一类间断点。B.x=0必是g(x)的第二类间断点。C.x=0必是g(x)的连续点。D.g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关。答案:D[解析] 因为 又g(0)=0，所以当a=0时，有 此时g(x)在点x=0处连续，当a≠0时，即x=0是g(x)的第一类间断点。因此，g(x)在x=0处的连续性与a的取值有关，故选D。问题:5. 设x→0时，ax2+bx+c-cosx是比x2高阶的无穷小，其中a，b，c为常数，则______ A． B． C． D． 答案:C[解析] 由题意得得c=1，又因为  所以得故选C。问题:6. 函数在下列哪个区间内有界?______A.(-1，0)B.(0，1)C.(1，2)D.(2，3)答案:A[解析] 当x≠0，1，2时，f(x)连续，而  所以，函数f(x)在(-1，0)内有界，故选A。  如果f(x)在(a，b)内连续，且极限存在，则函数f(x)在(a，b)内有界。问题:7. 设x→0时，(1+sinx)x-1是比xtanxn低阶的无穷小，而xtanxn是比(esin2x-1)ln(1+x2)低阶的无穷小，则正整数n等于______A.1B.2C.3D.4答案:B[解析] 当x→0时， (1+sinx)x-1=exln(1+sinx)-1～xln(1+sinx)～xsinx～x2，  (esin2x-1)ln(1+x2)～sin2x·x2～x4，  而xtanxn～x·xn=xn+1。因此2＜n+1＜4，则正整数n=2，故选B。 问题:8. 设f(x)和φ(x)在(-∞，+∞)上有定义，f(x)为连续函数，且f(x)≠0，φ(x)有间断点，则______ A．φ[f(x)]必有间断点  B．[φ(x)]2必有间断点  C．f[φ(x)]必有间断点  D． 答案:D[解析] 方法一：取则f(x)，φ(x)满足题设条件。由于φ[f(x)]=1，[φ(x)]2=1，f[φ(x)]=1都是连续函数，故可排除A、B、C三项，故选D。 方法二：借助极限的四则运算性质可知，由题意知，函数f(x)连续，且f(x)≠0，则必定间断，故选D。问题:9. 设x→a时，f(x)与g(x)分别是x-a的n阶与m阶无穷小，则下列命题中，正确的个数是______ ①f(x)g(x)是x-a的n+m阶无穷小。  ②若n＞m，则是x-a的n-m阶无穷小。 ③若n≤m，则f(x)+g(x)是x-a的n阶无穷小。 A.1B.2C.3D.0答案:B[解析] 解答此类问题时要逐一进行分析，按无穷小阶的定义判断： 关于①，   因此有 故x→a时，f(x)g(x)是x-a的n+m阶无穷小；  关于②，  若n＞m，