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[研究生入学考试题库]考研数学三模拟492 一、选择题问题:1. 随机变量X～N(2，4)，Y～N(2，5)，且D(X+Y)=DX-DY+14，则下列正确的是______A.E(XY)=EX·EY+2(DX-DY).B.D(X-Y)=DY．C.X，Y独立．D.X，Y不相关．答案:B[解析] D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X，Y)=DX-DY+14把DX=4，DY=5代入上式，得Cov(X，Y)=2≠0．故C，D错误． A选项不成立．因为F(XY)=Cov(X，Y)+EX·EY=2+2×2=6．而  EX·EY+2(DX-DY)=2×2+2×(4-5)=2．  B选项成立，因为D(X-Y)=DX+DY-2Cov(X，Y)=4+DY-2×2=DY． 问题:2. 函数z=x2+y2-6x+8y在圆域x2+y2≤100上的最大值与最小值分别是______A.200，-25．B.180，0．C.205，-15．D.190，10．答案:A[解析]  令 得点(3，-4)在圆域内，且z(3，-4)=-25． 函数在圆域的边界线x2+y2=100上的极值问题实际上是函数z=x2+y2-6x+8y在满足条件x2+y2=100下的极值问题．  可用拉格朗日乘数法求解．  作拉格朗日函数  F(x，y，λ)=x2+y2-6x+8y+λ(x2+y2-100)，并令   有  解得  于是得到函数在约束条件下可能的极值点分别是(6，-8)与(-6，8)  计算z(6，-8)=0，z(-6，8)=200．  由比较可知最大值max{0，200，-25}=200；最小值min{0，200，-25}=-25．  [评注] (1)设函数z=f(x，y)在有界闭区域D上连续．求其在D上的最大值或最小值的步骤如下：  ①求出函数z=f(x，y)在D内的所有驻点处或至少一个偏导数不存在的点处的函数值．  ②设D是由边界曲线Fi(x，y)=0(i=1，2，…，n)所围成，求出函数z=f(x，y)分别在约束条件Fi(x，y)=0(i=1，2，…，n)下的所有可能的驻点，并计算出其函数值．  ③比较①，②两组中已计算出的函数值，其中最大者就是函数z=f(x，y)在D上的最大值，最小者就是函数z=f(x，y)在D上的最小值．  (2)条件极值应用问题的求解方法．  条件极值应用问题的求解常用拉格朗日乘数法．  例如，求函数z=f(x，y)在约束条件(x，y)=0之下的条件极值的程序为： ①引入拉格朗日函数F(x，y，λ)=f(x，y)+λ(x，y)． ②求拉格朗日函数F(x，y，λ)的驻点，即解方程组   ③在考研试题中通常是条件最大值或最小值的应用问题，常由问题的实际意义可知存在最大值或最小值．若驻点唯一即为所求．  又如，求函数u=f(x，y，z)在约束条件(x，y，z)=0与(x，y，2)=0之下的条件极值的程序为： ①引入拉格朗日函数F(x，y，z，λ，μ)=f(x，y，z)+λ(x，y，z)+μ(x，y，z)． ②求拉格朗日函数F(x，y，z，λ，μ)的驻点，即解方程组 ③判定各驻点是否为最大、小极值点． 问题:3. 设随机变量X，Y相互独立，X～U(0，2)，Y～E(1)，则P(X+Y＞1)等于______． A． B．1-e  C．e  D．2e 答案:A[解析] 由X～U(0，2)，Y～E(1)得  再由X，Y相互独立得(X，Y)的联合密度函数为   则选A．问题:4. 设级数收敛，则级数______ A．必收敛． B．必收敛． C．必收敛． D．必收敛．答案:D[解析] 由收敛收敛(它们只差一项)． 收敛(级数的线性性质)． 因此选D．  问题:5. 设X1，X2，X3，X4，X5是来自总体N(1，4)的简单随机样本，则a=______． A．2  B． C． D．1 答案:C[解析]  问题:6. 设，其中f(x)为连续函数，则等于______A.a2．B.a2f(a)．C.0．D.不存在．答案:B[解析] 利用洛必达法则．因  故选B． 问题:7. 设α，β，γ均为大于1的常数，则级数______A.当a＞γ时收敛。B.当a＜γ时收敛。C.当γ＞β