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[研究生入学考试题库]考研数学三模拟487 一、选择题问题:1. 设函数f(x，y)连续，则二次积分等于______ A． B． C． D． 答案:B[解析] 本题更换二次积分的积分次序，先根据二次积分确定积分区域，然后写出新的二次积分． 由题设可知，，sinx≤y≤1，则0≤y≤1，π-arcsiny≤x≤π，故应选B．问题:2. 设随机变量(X，Y)的分布函数为F(x，y)，则概率P{X＞a，Y＞b}等于______A.1-F(a，b)．B.1-F(a，+∞)-F(+∞，b)．C.F(a，b)-F(a，+∞)-F(+∞，b)+1．D.F(a，b)+F(a，+∞)+F(+∞，b)-1．答案:C[解析] 设事件A＝{X≤a}，B={Y≤b}，则 P{X＞a，Y＞b}==1-P(A∪B)=1-P(A)-P(B)+P(AB) =1-P{X≤a}-P{Y≤b}+P{X≤a，Y≤b}  =1-F(a，+∞)-F(+∞，b)+F(a，b)．  本题也可以直接用平面区域图来求解． 问题:3. 设f(x)在x=1的某邻域内连续，且  则x=1是f(x)的______ A.不可导点．B.可导点但不是驻点．C.驻点，且是极大值点．D.驻点，且是极小值点．答案:C[解析] 因为f(x)在x=1连续，所以．若f(1)≠0，则，与原给极限等于-4矛盾．所以f(1)=0，并由等价无穷小替换，有  推得 (*)  不选(A)、(B)．又由(*)推得  (**) 当时，f(x)与-1同号，即f(x)＜0．而f(1)=0，所以f(1)是极大值．选(C)．问题:4. 设向量组α1，α2，α3，β1线性相关，向量组α1，α2，α3，β2线性无关，则对于任意常数k，必有______．A.α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关B.α1，α2，α3，kβ1+β2线性相关C.α1，α2，α3，β1+kβ2线性无关D.α1，α2，α3，β1+kβ2线性相关答案:A[解析] 由于k为任意常数，令k取某些特殊值可以排除错误结论． 解一 当k=0时，显然B、C不成立．  当k=1时，D不成立．事实上，由题设α1，α2，α3，β2线性无关，如果α1，α2，α3，β1+β2线性相关，而α1，α2，α3线性无关，则β1能由α1，α2，α3线性表示，而β2不能，于是β1+β2不能由α1，α2，α3线性表示，所以D不成立．仅A入选．  解二 对于任意常数k，证明A成立．设  l1α1+l2α2+l3α3+l4(kβ1+β2)=0  下证l4=0．若l4≠0，则kβ1+β2可由α1，α2，α3线性表示，由题设知β1能由α1，α2，α3线性表示，因而β2能由α1，α2，α3线性表示．这与α1，α2，α3，β2线性无关相矛盾，所以  l4=0，则上述等式可化为l1α1+l2α2+l3α3=0。  而α1，α2，α3线性无关，故l1=0，l2=0，l3=0，所以α1，α2，α3，kβ1+β3线性无关．  故A正确． 问题:5. 已知du(x，y)=[axy3+cos(x+2y)dx+[3x2y2+bcos(x+2y)]dy，则______A.a=2，b=-2B.a=3，b=2C.a=2，b=2D.a=-2，b=2答案:C[解析] 由du(x，y)=[axy3+cos(x+2y)]dx+[3x2y2+bcos(x+2y)]dy可知，  以上两式分别对y，x求偏导得   由于连续，所以即  3axy2-2sin(x+2y)=6xy2-bsin(x+2y)，  故得a=2，b=2． 问题:6. 把当x→0时的无穷小量α=ln(1+x2)-ln(1-x4)，，γ=arctanx-x排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是______A.α，β，γ．B.γ，α，β．C.α，γ，β．D.γ，β，α．答案:C[解析] 我们分别确定当x→0时，α、β、γ，分别是x的几阶无穷小．当x→0时 α=ln(1+x2)-ln(1-x4)～x2  因为ln(1+x2)～x2  ln(1-x4)～-x4=0(x2)  ， 又由 可知当x→0时，． 这表明当x→0时，α是关于x的2阶无穷小量，β是关于x的4阶无穷小量，而γ是关于x的3阶无穷小量．按题目的要求，它们应排成α，γ，β的次序．故应选C． 问题:7. 设在