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[研究生入学考试题库]考研数学三模拟477 一、选择题问题:1. 设A是三阶矩阵，其特征值是1，3，-2，相应的特征向量依次为α1，α2，α3，若P=[α1，2α3，-α2]，则p-1AP=______ A．. B．. C．. D．.答案:A[解析] 由Aα2=3α2，有A(-α2)=3(-α2)，即当α2是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量时，-α2仍是矩阵A属于特征值λ-3的特征向量．同理2α3仍是矩阵A属于特征值λ=-2的特征向量． 当P-1AP=Λ时，P由A的特征向量所构成，Λ由A的特征值所构成，且P与Λ的位置是对应一致的．现在，矩阵A的特征值是1，3，-2，故对角矩阵Λ应当由1，3，-2构成，因此排除B、C．由于2α3是属于λ=-2的特征向量，所以-2在对角矩阵Λ中应当是第2列，故应选A．  当P-1AP=B时，P不是矩阵Λ的特征向量．当P-1AP=Λ时，P是矩阵A的特征向量，Λ是矩阵A的特征值，且P与Λ中特征向量与特征值位置要对应正确。 问题:2. 已知级数(1)和级数(2)则______A.级数(1)收敛，级数(2)发散B.级数(1)发散，级数(2)收敛C.两级数都收敛D.两级数都发散答案:D[解析] 设则{u2n}为单调增数列，故从而级数(1)发散，由级数发散的定义可知，级数(2)一般项极限不为零，故发散．问题:3. 设α1，α2，α3，α4为四维非零列向量组，令A=(α1，α2，α3，α4)，AX=0的通解为X=k(0，-1，3，0)T，则A*X=0的基础解系为______．A.α1，α3B.α2，α3，α4C.α1，α2，α4D.α3，α4答案:C[解析] 因为AX=0的基础解系只含一个线性无关的解向量， 所以r(A)=3，于是r(A*)=1．  因为A*A=|A|E=0，所以α1，α2，α3，α4为A*X=0的一组解，  又因为-α2+3α3=0，所以α2，α3线性相关，从而α1，α2，α4线性无关，即为A*X=0的一个基础解系，应选C． 问题:4. 设f(x)g(x)在点x=0的某邻域内连续，且f(x)具有一阶连续导数，满足，，则______．A.x=0为f(x)的极小值点B.x=0为f(x)的极大值点C.(0，f(0))为曲线y=f(x)的拐点D.x=0不是f(x)的极值点，(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点答案:C[解析] 由f(x)的表示式易知f(0)=0，为判定选项的正确性，只需考察f(0)的符号的有关情况，为此计算，看其是否等于非零常数． 由f(x)=， 有f(x)=-4x+g(x)，  则， 可见在x=0的两侧因x变号，f(x)也变号，因而(0，f(0))为曲线y=f(x)的拐点．  仅C入选． 问题:5. 微分方程y-4y=e2x+x的特解形式为______．A.ae2x+bx+cB.ax2e2x+bx+cC.axe2x+bx2+cxD.axe2x+bx+c答案:D[解析] y-4y=0的特征方程为λ2-4=0，特征值为λ1=-2，λ2=2． y-4y=e2x的特解形式为y1=axe2x，  y-4y=x的特解形式为y2=bx+c，故原方程特解形式为axe2x+bx+c，选D． 问题:6. 设函数f(x)在区间(-δ,δ)内有定义，若当x∈(-δ，δ)时，恒有|f(x)|≤x2，则x=0必是f(x)的______A.间断点B.连续，但不可导的点C.可导的点，且f(0)=0D.可导的点，且f(0)≠0答案:C[解析] 故f(0)=0．问题:7. 设f(x)对任意x均满足f(1+x)=af(x)，且f(0)=b，其中a与b都是常数，则f(x)在x=1处______A.不可导。B.可导，f(1)=a．C.可导，f(1)=b．D.可导，f(1)=ab．答案:D[解析] 由f(x+1)=af(x)，有 ．选(D)．问题:8. 设随机变量X与Y相互独立，且X服从区间[-1，2]上的均匀分布，Y的分布律为，则概率P{X＜Y)=______ A．  B．  C．  D． 答案:A[解析] 本题考查混合型随机变量求概率问题，其一般的处理方法是把离散型随机变量取各个可能值看成完备事件组，用全概公式求解． 解 二、填空题问题:1. 设在x=0处连续，则a=______．答案:[解析]  因为f(x)在x=0处连续，所以 问题:2. 设A为三阶方阵，|A|=4，则|(A*)*-2A|______