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[研究生入学考试题库]考研数学一模拟560 一、选择题(下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的)问题:1. 极限的值是A.0．B.1．C.2．D.不存在．答案:B问题:2. 设f(x)=3x3+x2|x|，则使f(n)(0)存在的最高阶导数n为A.0．B.1．C.2．D.3．答案:C问题:3. 设常数a＞1，函数则f(x)在x=0处______A.不连续．B.连续但不可导．C.可导，f(0)=α．D.可导，f(0)=0．答案:D[解析] 考虑x＞0处，由于α＞1，有 当时，，所以x→0-时，又f(0)=0．所以f(x)在x=0处连续，不选A．再看f(0)是否存在，等于多少?  而当时，令x→0-，由于a＞1，再由夹逼定理得  所以f(0)存在且等于0．选D． 问题:4. 设，则在[-1，1]上，f(x)的最小值m与最大值M为______ A． B． C．m=-1，M=1．  D． 答案:D[解析] 当-1≤x≤0时，   令f(x)=0，得驻点(唯一的驻点)． 比较 ∴选D．问题:5. 设随机变量X～N(0，1)，Y的分布为，且X，Y相互独立．记FZ(z)为Z=XY的分布函数，则FZ(z)的间断点个数为______A.0．B.1．C.2．D.3．答案:B[解析] 记y1=-1，y2=0，y3=1，由事件分解：  由全概率公式，得   所以有  FZ(z)=P(XY≤z)  =P(Y=-1)P[X·(-1)≤z]+P(Y=0)P(X·0≤z)+  P(Y=1)P(X·1≤z)   因为Φ(z)无间断点，因此只需考虑概率P(0≤z).  由于当z＜0时，有P(0≤z)=0；当z＞0时，有P(0＜z)=1．  从而z=0是FZ(z)的唯一间断点． 问题:6. 设区域D：1≤x2+y2≤22，f是区域D上的连续函数，则等于______ A． B． C． D． 答案:C[解析] 区域D为圆环域，故利用坐标有所以 问题:7. 设是三阶可逆矩阵，B是三阶矩阵，且，则B相似于______ A． B． C． D． 答案:A[解析] 观察，可由作初等行变换得到，将A的1、2行互换，(左乘E12)，再将E12A的第2行乘以2，第3行乘以-1，(左乘E2(2)，再左乘E3(-1))，即得AB，即  A是可逆矩阵，上式两边右乘A-1，得， 即  问题:8. 设非负函数f(x)满足条件f(x)≤0，收敛，则______ A． B． C． D． 答案:A[解析] 由于f(x)≤0，所以f(x)为单调递减函数． 由于收敛，则． 又当x＞0时，  ， 故  ． 由夹逼定理可知． 由上式极限存在且为零，易知．问题:9. 下列选项正确的是______ A． B． C． D． 答案:A[解析] 法一 A．  法二 排除法．  对于B，C，D可分别举反例如下．B：根据排除法，选A．问题:10. 设函数y=f(x)在点x0处可导，当自变量x由x0增加到x0+Δx时，记Δy为f(x)的增量，dy为f(x)的微分，等于A.-1．B.0．C.1．D.∞．答案:B二、填空题问题:1.答案:问题:2. 设3阶矩阵A的特征值为-1，9，2．记B=A3-3A2，则|B|=______．答案:7776[解析] 由于矩阵A的三个特征值是-1，9，2，所以矩阵B=A3-3A2的三个特征值是-4，486，-4，故矩阵B=A3-3A2所对应的行列式|A3-3A2|=(-4)×486×(-4)=7776．问题:3. 若二阶常系数线性齐次微分方程2y+ay=0和y-by=0有同一解y=e2x，则非齐次方程y+ay+by=e2x的通解为y=______．答案:，其中C1，C2为任意常数[解析] 由题设条件可知二次方程2λ2+aλ=0与λ2-b=0有共同的一个解λ=2，所以b=4，a=-4．齐次微分方程为y-4y+4y=0，其通解是y=(c1+c2x)e2x． 求非齐次微分方程y-4y+4y=e2x的一个特解：  设特解Y=Ax2e2x，代入微分方程为y-4y+4y=