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[研究生入学考试题库]考研数学一模拟473 一、选择题问题:1. 已知线性方程组AX=kβ1+β2有解，其中，则k等于______。A.1B.-1C.2D.-2答案:D[考点] 线性方程组的解 [解析] 将AX=kβ1+β2的增广矩阵作初等行变换，   故AX=kβ1+β2有解甘r(A)=r(A|kβ1+β2)，得k=-2，故应选(D)。 问题:2. 设随机变量X和Y相互独立，且方差DX，DY，D(XY)存在，则下列结论正确的是______A.D(XY)=0．B.D(XY)≥DXDY．C.D(XY)≤DXDY．D.D(XY)=DXDY．答案:B[解析] D(XY)=E[(XY)2]-[E(XY)]2 =E(X2)E(Y2)-(EX)2(EY)2  =[DX+(EX)2][DY+(EY)2]-(EX)2(EY)2  =DXDY+(EX)2DY+(EY)2DX  ≥DXDY． 问题:3. 设函数f(x)在点x=a处可导，则函数｜f(x)｜在点x=a处不可导的充分条件是 ______A.f(a)=0且f(a)=0B.f(a)=0且f(a)≠0C.f(a)＞0且f(a)＞0D.f(a)＜0且f(a)＜0答案:B问题:4. 实二次型正定的充分必要条件为______ A．a＜1．  B．  C．  D． 答案:D[解析] 二次型的矩阵  得A的特征值：λ1=λ2=…=λn-1=1-α，λn=1+(n-1)a．  由二次型正定的充要条件，λ1=λ2=…=λn-1=1-a＞0，  λn=1+(n-1)a＞0，从而选D． 问题:5. 对事件A，B，已知P(A)=1，则必有：______ A．A=Ω．  B．BA．  C．A与B独立．  D．P(B)＜P(A)． 答案:C[解析] “概率为0或1的事件与任一事件独立”，可见应选C．注意由“P(A)=1”推不出“A=Ω”，而有可能B=Ω呢!故另3个选项不行．问题:6. 以下命题正确的是______．A.若事件A，B，C两两独立，则三个事件一定相互独立B.设P(A)＞0，P(B)＞0，若A，B独立，则A，B一定互斥C.设P(A)＞0，P(B)＞0，若A，B互斥，则A，B一定独立D.A，B既互斥又相互独立，则P(A)=0或P(B)=0答案:D[解析] 当P(A)＞0，P(B)＞0时，事件A，B独立与互斥是不相容的，即若A，B独立，则P(AB)=P(A)P(B)＞0，则A，B不互斥；若A，B互斥，则P(AB)=0≠P(A)P(B)，即A，B不独立，又三个事件两两独立不一定相互独立，选D．问题:7. 设y=y(x)为微分方程2xydx+(x2-1)dy=0满足初始条件y(0)=1的解，则为______ A．-ln3  B．ln3  C．  D． 答案:D[解析] 由2xydx+(x2-1)dy=0得，积分得 ln(x2-1)+lny=lnC，从而，  由y(0)=1得C=-1，于是，  故，选D． 问题:8. 设L是以A(1，0)，B(0，1)，C(-1，0)，D(0，-1)为顶点的正方形边界，则等于______ A．  B．0．  C．  D．4． 答案:A[解析] 曲线L的方程为|x|+|y|=1，该曲线关于y轴和x轴都对称，，分别关于x和y是奇函数，则  故应选A． 二、填空题问题:1. 设随机变量X，Y相互独立且都服从区间[1，3]上的均匀分布，引进事件A={X≤a)，B={Y＞a}，若，则a=______．答案:或[解析]  =P{X≤a}+P{Y＞a}-P{X≤a，Y＞a}  =P{X≤a}+P{Y＞a}-P{X≤a}P{Y＞a}，  显然a≤1或a≥3均不可能，  所以 即有， 解之得．问题:2. 设A是3阶矩阵，|A|=3，且满足|A2+2A|=0，|2A2+A|=0，则A*的特征值是______．答案:[解析] |A||A+2E|=0，因|A|=3，则|A+2E|=0，故A有特征值λ1=-2.  因|A|=3=λ1λ2λ3，故λ3=3.   故A*有特征值 问题:3. 二次型的规范形是______．答案:[解析] 二次型矩阵 由于|λE-A|=(λ2-1)(λ2-5λ) 知矩阵A的特征值为：1，5，-1，0．故