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[研究生入学考试题库]考研数学二分类模拟题124 解答题解答题包括计算题、应用题和证明题．问题:1. 答案:[解] 因为又当x→0时， ax-1=exlna-1～xlna．   f(x)～Axlna·sinx(x→0)，  于是得到 问题:2. 答案:[解]  问题:3. 设f(x)是三次多项式，且有 答案:[解] 因为所以f(2a)=f(4a)=0，从而可知x-2a，x-4a为f(x)的因式，又因为f(x)为三次多项式，可令f(x)=b(x-2a)(x-4a)(x-c)．于是   问题:4. 答案:[解] 因为所以故a=1. 又所以b=-4.问题:5. 确定常数a和b的值，使 答案:[解] 于是  代入即得  问题:6. 设函数证明：存在常数A，B，使得当x→0+时，恒有 f(x)=e+Ax+Bx2+o(x2)，  并求常数A，B． 答案:[证]  故 问题:7. 已知求常数A，B，C，D．答案:[解] 因 问题:8. 已知数列{xn}的通项 答案:[解]  因为故由夹逼准则有 问题:9. 答案:[证] 因为所以{an}有下界． 下面再证明{an}单调递减．即an+1≤an，所以存在． 令则A=1(A=-1舍去)．问题:10.答案:[解] 假设xn＞xn-1，则  即xn+1＞xn，由数学归纳法可知对一切n，都有xn+1＞xn．又所以{xn}单调递增且有上界，故{xn}收敛．记对等式两边取极限，得即a2-a-1=0.解得因xn≥1，故负值不合题意，于是 已知数列{xn}的通项11. 证明 答案:[证] 12. 计算 答案:[解]  又   故 问题:13. 设f(x)的二阶导数在x=0处连续，且  试求f(0)，f(0)，f(0)以及极限 答案:[解] 依题意有所以有所以这是“1∞”型未定式． 由得f(0)=0.将原极限凑成第二个重要极限，  其中所以必有  于是有 从而得f(0)=0，f(0)=4.则  问题:14. 设 答案:[解] 因为故{xn}有下界，又  故{xn}单调递减，所以存在． 问题:15. 试讨论函数在点x=0处的连续性．答案:[解]  当α＞0且β=-1时，有g(0-)=g(0+)=g(0)=0，故g(x)在x=0处连续；  当α＞0且β≠-1时，有g(0-)≠g(0+)，故点x=0是g(x)的跳跃间断点；  当α≤0时，点x=0是g(x)的振荡间断点． 问题:16. 求函数的间断点，并判断它们的类型．答案:[解] 对于函数F(x)的分段点x=0，因  故点x=0是函数F(x)的跳跃间断点．  当x＞0时，在x=1处没有定义，且振荡，不存在，故点x=1是函数F(x)的振荡间断点． 当x＜0时，在点列处没有定义，则这些点都是函数F(x)的间断点．特别对点有  故点是函数F(x)的可去间断点；而点列显然是函数F(x)的无穷间断点．问题:17. 设求f(x)的间断点并判定其类型．答案:[解] 因  故x=0为可去间断点．   故x=-1为跳跃间断点． 问题:18. 设求f(x)的间断点，并说明间断点的类型．答案:[解] f(x)在区间(-1，0)，(0，1)及(1，+∞)上都是初等函数，且是连续的．f(0)无定义，故x=0是间断点．因为所以x=0为跳跃间断点． f(1)无定义，故x=1是间断点．因为所以x=1为无穷间断点．问题:19. 设函数f(x)由下列表达式确定，  求f(x)的连续区间和间断点，并判定间断点的类型 答案:[解]  显然x=1为间断点，连续区间为(-∞，1)∪(1，+∞)．由于   所以x=1为无穷间断点． 问题:20. 设函数f(x)在[a，b]上连续，x1，x2，…，xn，…是[a，b]上的一个点列，求 答案:[解] 本题考虑夹逼准则．由f(x)在[a，b]上连续，知ef(x)在[a，b]上非负连续，且0＜m≤ef(x)≤M，其中M，m分别为ef(x)在[a，b]上的最大值和最小值，于是 故 由根据夹逼准则，得