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[研究生入学考试题库]考研数学二分类模拟217 一、选择题问题:1. 非齐次线性方程组Ax=b中，系数矩阵A和增广矩阵的秩都等于4，A是4×6矩阵，则______A.无法确定方程组是否有解B.方程组有无穷多解C.方程组有唯一解D.方程组无解答案:B[解析] 由于非齐次线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩相同是方程组有解的充要条件，且方程组的未知数个数是6，而系数矩阵的秩为4，因此方程组有无穷多解。故选B。问题:2. 设A是n阶矩阵，α是n维列向量，若则线性方程组______ A．Ax=α必有无穷多解  B．Ax=α必有唯一解。  C． D． 答案:D[解析] 齐次线性方程组必有解(零解)，则选项C、D为互相对立的命题，且其正确与否不受其他条件制约，故其中有且只有一个正确，因而排除A、B。又齐次线性方程组  有n+1个变量，而由题设条件知，所以方程组必有非零解。故选D。问题:3. 设矩阵若集合Ω={1，2}，则线性方程组Ax=b有无穷多解的充分必要条件为______ A． B． C． D． 答案:D[解析] 线性方程组有无穷多解，只需要系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，并且都小于3。下面对增广矩阵进行初等行变换：  由r(A)=r(A，b)＜3，故a=1或a=2，同时d=1或d=2。故选D。  线性方程组有无穷多解的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相等，且都小于未知数的个数。 问题:4. 设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则线性方程组(AB)x=0______A.当n＞m时，仅有零解B.当n＞m时，必有非零解C.当m＞n时，仅有零解D.当m＞n时，必有非零解答案:D[解析] 因为AB是m阶矩阵，且 r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤min{m，n}，  所以当m＞n时，必有r(AB)＜m，根据齐次方程组存在非零解的充分必要条件可知，故选D。 问题:5. 设A是m×n矩阵，Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是______A.若Ax=0仅有零解，则Ax=b有唯一解B.若Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多个解C.若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0仅有零解D.若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0有非零解答案:D[解析] 因为不论齐次线性方程组Ax=0的解的情况如何，即r(A)=n或r(A)＜n，以此均不能推得 r(A)=r(A，b)，  所以选项A、B均不正确。  而由Ax=b有无穷多个解可知，r(A)=r(A，b)＜n，根据齐次线性方程组有非零解的充分必要条件可知，此时Ax=0必有非零解。故选D。 问题:6. 非齐次线性方程组Ax=b中未知量的个数为n，方程个数为m，系数矩阵的秩为r，则______A.r=m时，方程组Ax=b有解B.r=n时，方程组Ax=b有唯一解C.m=n时，方程组Ax=b有唯一解D.r＜n时，方程组有无穷多个解答案:A[解析] 对于选项A，r(A)=r=m。由于 r(A，b)≥m=r，  且  r(A，b)≤min{m，n+1}=min{r，n+1}=r，  因此必有r(A，b)=r，从而r(A)=r(A，b)，此时方程组有解。  由B、C、D选项的条件均不能推得“两秩”相等。故选A。 问题:7. 已知α1，α2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，那么  中，仍是线性方程组Ax=b特解的共有______ A.4个B.3个C.2个D.1个答案:C[解析] 由于Aα1=b，Aα2=b，那么 A(4α1-3α2)=4Aα1-3Aα2=b，   可知4α1-3α2，均是Ax=b的解。而  可知α1-2α2，不是Ax=b的解。故选C。问题:8. 设α1，α2，α3均为线性方程组Ax=b的解，下列向量中  可以作为导出组Ax=0的解向量的有______个。 A.4B.3C.2D.1答案:A[考点] 本题考查了线性方程组的解的结构。[解析] 由于Aα1=Aα2=Aα3=b，可知 A(α1-α2)=Aα1-Aα2=b-b=0，  A(α1-2α2+α3)=Aα1-2Aα2+Aα3=b-2b+b=0，   A(α1+3α2-4α3)=Aα1+3Aα2-4Aα3=b+3b-4b=0。  这四个向量都是Ax=0的解。故选A。  对于这种给定向量判断其是否为已知方程组的解向量的题